Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17224 / 14569
↖ ↑ ↗
← N 80.068950°
W132.692871°		 ← 52.66 m → N 80.068950°
W132.690125°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
N 80.068476°
W132.692871°		 ← 52.67 m →
2 775 m²		 N 80.068476°
W132.690125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131412506103516 y=0.111156463623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131412506103516 × 217)
    floor (0.131412506103516 × 131072)
    floor (17224.5)     		tx = 17224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111156463623047 × 217)
    floor (0.111156463623047 × 131072)
    floor (14569.5)     		ty = 14569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17224 / 14569 ti = "17/17224/14569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17224/14569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17224 ÷ 217
    17224 ÷ 131072     		x = 0.13140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14569 ÷ 217
    14569 ÷ 131072     		y = 0.111152648925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13140869140625 × 2 - 1) × π
    -0.7371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31592749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111152648925781 × 2 - 1) × π
    0.777694702148438 × 3.1415926535     		Φ = 2.4431999629354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31592749} λ = -2.31592749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4431999629354))-π/2
    2×atan(11.509812851242)-π/2
    2×1.48413156821552-π/2
    2.96826313643104-1.57079632675     		φ = 1.39746681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31592749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.692871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39746681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.068950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17224 KachelY 14569 -2.31592749 1.39746681 -132.692871 80.068950
    Oben rechts KachelX + 1 17225 KachelY 14569 -2.31587956 1.39746681 -132.690125 80.068950
    Unten links KachelX 17224 KachelY + 1 14570 -2.31592749 1.39745854 -132.692871 80.068476
    Unten rechts KachelX + 1 17225 KachelY + 1 14570 -2.31587956 1.39745854 -132.690125 80.068476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39746681-1.39745854) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dl = 52.6881700009139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39746681-1.39745854) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dr = 52.6881700009139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31592749--2.31587956) × cos(1.39746681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172462926288234 × 6371000     		do = 52.6636292711477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31592749--2.31587956) × cos(1.39745854) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172471072364735 × 6371000     		du = 52.6661167736047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39746681)-sin(1.39745854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172462926288234-0.172471072364735)×R²
    abs(-2.31587956--2.31592749)×8.14607650134747e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.14607650134747e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.14607650134747e-06×40589641000000     		ar = 2774.81578285002m²