Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17222 / 16198
↖ ↑ ↗
← N  2.043024°
E  9.206543°		 ← 1 220.86 m → N  2.043024°
E  9.217530°		 →
↑
1 220.81 m
↓
↑
1 220.81 m
↓
N  2.032045°
E  9.206543°		 ← 1 220.87 m →
1 490 448 m²		 N  2.032045°
E  9.217530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525588989257812 y=0.494338989257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525588989257812 × 215)
    floor (0.525588989257812 × 32768)
    floor (17222.5)     		tx = 17222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494338989257812 × 215)
    floor (0.494338989257812 × 32768)
    floor (16198.5)     		ty = 16198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17222 / 16198 ti = "15/17222/16198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17222/16198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17222 ÷ 215
    17222 ÷ 32768     		x = 0.52557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16198 ÷ 215
    16198 ÷ 32768     		y = 0.49432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52557373046875 × 2 - 1) × π
    0.0511474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16068449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49432373046875 × 2 - 1) × π
    0.0113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0356650533173218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16068449} λ = 0.16068449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0356650533173218))-π/2
    2×atan(1.03630868019841)-π/2
    2×0.803226910774008-π/2
    1.60645382154802-1.57079632675     		φ = 0.03565749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16068449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03565749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.043024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17222 KachelY 16198 0.16068449 0.03565749 9.206543 2.043024
    Oben rechts KachelX + 1 17223 KachelY 16198 0.16087624 0.03565749 9.217530 2.043024
    Unten links KachelX 17222 KachelY + 1 16199 0.16068449 0.03546587 9.206543 2.032045
    Unten rechts KachelX + 1 17223 KachelY + 1 16199 0.16087624 0.03546587 9.217530 2.032045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03565749-0.03546587) × R
    0.000191620000000003 × 6371000     		dl = 1220.81102000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03565749-0.03546587) × R
    0.000191620000000003 × 6371000     		dr = 1220.81102000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16068449-0.16087624) × cos(0.03565749) × R
    0.000191749999999991 × 0.999364339059006 × 6371000     		do = 1220.86270164473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16068449-0.16087624) × cos(0.03546587) × R
    0.000191749999999991 × 0.999371151951937 × 6371000     		du = 1220.87102454214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03565749)-sin(0.03546587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999364339059006-0.999371151951937)×R²
    abs(0.16087624-0.16068449)×6.81289293091858e-06×R²
    0.000191749999999991×6.81289293091858e-06×6371000²
    0.000191749999999991×6.81289293091858e-06×40589641000000     		ar = 1490447.72497787m²