Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17221 / 18249
↖ ↑ ↗
← S 20.066251°
E  9.195557°		 ← 1 147.48 m → S 20.066251°
E  9.206543°		 →
↑
1 147.42 m
↓
↑
1 147.42 m
↓
S 20.076570°
E  9.195557°		 ← 1 147.41 m →
1 316 597 m²		 S 20.076570°
E  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525558471679688 y=0.556930541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525558471679688 × 215)
    floor (0.525558471679688 × 32768)
    floor (17221.5)     		tx = 17221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556930541992188 × 215)
    floor (0.556930541992188 × 32768)
    floor (18249.5)     		ty = 18249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17221 / 18249 ti = "15/17221/18249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17221/18249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17221 ÷ 215
    17221 ÷ 32768     		x = 0.525543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18249 ÷ 215
    18249 ÷ 32768     		y = 0.556915283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525543212890625 × 2 - 1) × π
    0.05108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16049274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556915283203125 × 2 - 1) × π
    -0.11383056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.357609271165619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16049274} λ = 0.16049274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357609271165619))-π/2
    2×atan(0.699346276384622)-π/2
    2×0.610287088949159-π/2
    1.22057417789832-1.57079632675     		φ = -0.35022215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16049274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.195557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35022215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.066251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17221 KachelY 18249 0.16049274 -0.35022215 9.195557 -20.066251
    Oben rechts KachelX + 1 17222 KachelY 18249 0.16068449 -0.35022215 9.206543 -20.066251
    Unten links KachelX 17221 KachelY + 1 18250 0.16049274 -0.35040225 9.195557 -20.076570
    Unten rechts KachelX + 1 17222 KachelY + 1 18250 0.16068449 -0.35040225 9.206543 -20.076570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35022215--0.35040225) × R
    0.000180100000000016 × 6371000     		dl = 1147.4171000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35022215--0.35040225) × R
    0.000180100000000016 × 6371000     		dr = 1147.4171000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16049274-0.16068449) × cos(-0.35022215) × R
    0.000191750000000018 × 0.939296514920765 × 6371000     		do = 1147.48149001553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16049274-0.16068449) × cos(-0.35040225) × R
    0.000191750000000018 × 0.93923470621042 × 6371000     		du = 1147.40598206898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35022215)-sin(-0.35040225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939296514920765-0.93923470621042)×R²
    abs(0.16068449-0.16049274)×6.18087103448905e-05×R²
    0.000191750000000018×6.18087103448905e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.18087103448905e-05×40589641000000     		ar = 1316596.56758197m²