Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1722 / 591
↖ ↑ ↗
← N 77.786191°
W 28.652344°		 ← 2 067.58 m → N 77.786191°
W 28.564453°		 →
↑
2 069.17 m
↓
↑
2 069.17 m
↓
N 77.767582°
W 28.652344°		 ← 2 070.68 m →
4 281 384 m²		 N 77.767582°
W 28.564453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4205322265625 y=0.1444091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4205322265625 × 212)
    floor (0.4205322265625 × 4096)
    floor (1722.5)     		tx = 1722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1444091796875 × 212)
    floor (0.1444091796875 × 4096)
    floor (591.5)     		ty = 591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1722 / 591 ti = "12/1722/591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1722/591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1722 ÷ 212
    1722 ÷ 4096     		x = 0.42041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 591 ÷ 212
    591 ÷ 4096     		y = 0.144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144287109375 × 2 - 1) × π
    0.71142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2350100078855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50007774} λ = -0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2350100078855))-π/2
    2×atan(9.34657539118488)-π/2
    2×1.4642107318046-π/2
    2.9284214636092-1.57079632675     		φ = 1.35762514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35762514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.786191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1722 KachelY 591 -0.50007774 1.35762514 -28.652344 77.786191
    Oben rechts KachelX + 1 1723 KachelY 591 -0.49854376 1.35762514 -28.564453 77.786191
    Unten links KachelX 1722 KachelY + 1 592 -0.50007774 1.35730036 -28.652344 77.767582
    Unten rechts KachelX + 1 1723 KachelY + 1 592 -0.49854376 1.35730036 -28.564453 77.767582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35762514-1.35730036) × R
    0.000324779999999913 × 6371000     		dl = 2069.17337999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35762514-1.35730036) × R
    0.000324779999999913 × 6371000     		dr = 2069.17337999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50007774--0.49854376) × cos(1.35762514) × R
    0.00153398000000005 × 0.211560365189643 × 6371000     		do = 2067.57660985834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50007774--0.49854376) × cos(1.35730036) × R
    0.00153398000000005 × 0.21187778260903 × 6371000     		du = 2070.67872603826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35762514)-sin(1.35730036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211560365189643-0.21187778260903)×R²
    abs(-0.49854376--0.50007774)×0.000317417419386234×R²
    0.00153398000000005×0.000317417419386234×6371000²
    0.00153398000000005×0.000317417419386234×40589641000000     		ar = 4281383.92797567m²