Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17219 / 18107
↖ ↑ ↗
← S 18.594189°
E  9.173584°		 ← 1 157.87 m → S 18.594189°
E  9.184570°		 →
↑
1 157.80 m
↓
↑
1 157.80 m
↓
S 18.604601°
E  9.173584°		 ← 1 157.80 m →
1 340 544 m²		 S 18.604601°
E  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525497436523438 y=0.552597045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525497436523438 × 215)
    floor (0.525497436523438 × 32768)
    floor (17219.5)     		tx = 17219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552597045898438 × 215)
    floor (0.552597045898438 × 32768)
    floor (18107.5)     		ty = 18107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17219 / 18107 ti = "15/17219/18107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17219/18107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17219 ÷ 215
    17219 ÷ 32768     		x = 0.525482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18107 ÷ 215
    18107 ÷ 32768     		y = 0.552581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525482177734375 × 2 - 1) × π
    0.05096435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16010924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.10516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.330381112181427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16010924} λ = 0.16010924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.330381112181427))-π/2
    2×atan(0.718649795043542)-π/2
    2×0.623133254758043-π/2
    1.24626650951609-1.57079632675     		φ = -0.32452982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16010924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.173584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32452982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.594189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17219 KachelY 18107 0.16010924 -0.32452982 9.173584 -18.594189
    Oben rechts KachelX + 1 17220 KachelY 18107 0.16030099 -0.32452982 9.184570 -18.594189
    Unten links KachelX 17219 KachelY + 1 18108 0.16010924 -0.32471155 9.173584 -18.604601
    Unten rechts KachelX + 1 17220 KachelY + 1 18108 0.16030099 -0.32471155 9.184570 -18.604601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32452982--0.32471155) × R
    0.000181729999999991 × 6371000     		dl = 1157.80182999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32452982--0.32471155) × R
    0.000181729999999991 × 6371000     		dr = 1157.80182999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16010924-0.16030099) × cos(-0.32452982) × R
    0.000191749999999991 × 0.947800754266011 × 6371000     		do = 1157.87060259091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16010924-0.16030099) × cos(-0.32471155) × R
    0.000191749999999991 × 0.947742791608937 × 6371000     		du = 1157.79979313399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32452982)-sin(-0.32471155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947800754266011-0.947742791608937)×R²
    abs(0.16030099-0.16010924)×5.79626570741398e-05×R²
    0.000191749999999991×5.79626570741398e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.79626570741398e-05×40589641000000     		ar = 1340543.71461286m²