Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17219 / 16196
↖ ↑ ↗
← N  2.064982°
E  9.173584°		 ← 1 220.85 m → N  2.064982°
E  9.184570°		 →
↑
1 220.81 m
↓
↑
1 220.81 m
↓
N  2.054003°
E  9.173584°		 ← 1 220.85 m →
1 490 427 m²		 N  2.054003°
E  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525497436523438 y=0.494277954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525497436523438 × 215)
    floor (0.525497436523438 × 32768)
    floor (17219.5)     		tx = 17219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494277954101562 × 215)
    floor (0.494277954101562 × 32768)
    floor (16196.5)     		ty = 16196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17219 / 16196 ti = "15/17219/16196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17219/16196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17219 ÷ 215
    17219 ÷ 32768     		x = 0.525482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16196 ÷ 215
    16196 ÷ 32768     		y = 0.4942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525482177734375 × 2 - 1) × π
    0.05096435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16010924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4942626953125 × 2 - 1) × π
    0.011474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0360485485142822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16010924} λ = 0.16010924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0360485485142822))-π/2
    2×atan(1.03670617581379)-π/2
    2×0.803418535171399-π/2
    1.6068370703428-1.57079632675     		φ = 0.03604074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16010924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.173584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03604074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.064982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17219 KachelY 16196 0.16010924 0.03604074 9.173584 2.064982
    Oben rechts KachelX + 1 17220 KachelY 16196 0.16030099 0.03604074 9.184570 2.064982
    Unten links KachelX 17219 KachelY + 1 16197 0.16010924 0.03584912 9.173584 2.054003
    Unten rechts KachelX + 1 17220 KachelY + 1 16197 0.16030099 0.03584912 9.184570 2.054003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03604074-0.03584912) × R
    0.000191620000000003 × 6371000     		dl = 1220.81102000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03604074-0.03584912) × R
    0.000191620000000003 × 6371000     		dr = 1220.81102000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16010924-0.16030099) × cos(0.03604074) × R
    0.000191749999999991 × 0.999350602828415 × 6371000     		do = 1220.84592092629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16010924-0.16030099) × cos(0.03584912) × R
    0.000191749999999991 × 0.999357489112777 × 6371000     		du = 1220.85433348156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03604074)-sin(0.03584912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999350602828415-0.999357489112777)×R²
    abs(0.16030099-0.16010924)×6.88628436229521e-06×R²
    0.000191749999999991×6.88628436229521e-06×6371000²
    0.000191749999999991×6.88628436229521e-06×40589641000000     		ar = 1490427.29361944m²