Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17216 / 17451
↖ ↑ ↗
← S 11.641476°
E  9.140625°		 ← 1 196.51 m → S 11.641476°
E  9.151611°		 →
↑
1 196.47 m
↓
↑
1 196.47 m
↓
S 11.652236°
E  9.140625°		 ← 1 196.46 m →
1 431 564 m²		 S 11.652236°
E  9.151611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525405883789062 y=0.532577514648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525405883789062 × 215)
    floor (0.525405883789062 × 32768)
    floor (17216.5)     		tx = 17216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532577514648438 × 215)
    floor (0.532577514648438 × 32768)
    floor (17451.5)     		ty = 17451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17216 / 17451 ti = "15/17216/17451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17216/17451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17216 ÷ 215
    17216 ÷ 32768     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17451 ÷ 215
    17451 ÷ 32768     		y = 0.532562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532562255859375 × 2 - 1) × π
    -0.06512451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.2045946875784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.2045946875784))-π/2
    2×atan(0.814977570011401)-π/2
    2×0.683807117967719-π/2
    1.36761423593544-1.57079632675     		φ = -0.20318209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20318209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.641476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17216 KachelY 17451 0.15953400 -0.20318209 9.140625 -11.641476
    Oben rechts KachelX + 1 17217 KachelY 17451 0.15972575 -0.20318209 9.151611 -11.641476
    Unten links KachelX 17216 KachelY + 1 17452 0.15953400 -0.20336989 9.140625 -11.652236
    Unten rechts KachelX + 1 17217 KachelY + 1 17452 0.15972575 -0.20336989 9.151611 -11.652236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20318209--0.20336989) × R
    0.000187799999999988 × 6371000     		dl = 1196.47379999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20318209--0.20336989) × R
    0.000187799999999988 × 6371000     		dr = 1196.47379999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.15972575) × cos(-0.20318209) × R
    0.000191749999999991 × 0.979429433292992 × 6371000     		do = 1196.50943831592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.15972575) × cos(-0.20336989) × R
    0.000191749999999991 × 0.979391520426746 × 6371000     		du = 1196.46312247043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20318209)-sin(-0.20336989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979429433292992-0.979391520426746)×R²
    abs(0.15972575-0.15953400)×3.79128662454375e-05×R²
    0.000191749999999991×3.79128662454375e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.79128662454375e-05×40589641000000     		ar = 1431564.49075716m²