Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17214 / 10854
↖ ↑ ↗
← N 51.795027°
E  9.118653°		 ← 755.52 m → N 51.795027°
E  9.129638°		 →
↑
755.60 m
↓
↑
755.60 m
↓
N 51.788232°
E  9.118653°		 ← 755.63 m →
570 911 m²		 N 51.788232°
E  9.129638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525344848632812 y=0.331253051757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525344848632812 × 215)
    floor (0.525344848632812 × 32768)
    floor (17214.5)     		tx = 17214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331253051757812 × 215)
    floor (0.331253051757812 × 32768)
    floor (10854.5)     		ty = 10854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17214 / 10854 ti = "15/17214/10854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17214/10854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17214 ÷ 215
    17214 ÷ 32768     		x = 0.52532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10854 ÷ 215
    10854 ÷ 32768     		y = 0.33123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52532958984375 × 2 - 1) × π
    0.0506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15915051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33123779296875 × 2 - 1) × π
    0.3375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06036421959564
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15915051} λ = 0.15915051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06036421959564))-π/2
    2×atan(2.88742245361288)-π/2
    2×1.23739504401349-π/2
    2.47479008802698-1.57079632675     		φ = 0.90399376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15915051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.118653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90399376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.795027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17214 KachelY 10854 0.15915051 0.90399376 9.118653 51.795027
    Oben rechts KachelX + 1 17215 KachelY 10854 0.15934225 0.90399376 9.129638 51.795027
    Unten links KachelX 17214 KachelY + 1 10855 0.15915051 0.90387516 9.118653 51.788232
    Unten rechts KachelX + 1 17215 KachelY + 1 10855 0.15934225 0.90387516 9.129638 51.788232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90399376-0.90387516) × R
    0.000118599999999969 × 6371000     		dl = 755.600599999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90399376-0.90387516) × R
    0.000118599999999969 × 6371000     		dr = 755.600599999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15915051-0.15934225) × cos(0.90399376) × R
    0.000191739999999996 × 0.618476599538634 × 6371000     		do = 755.515886058754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15915051-0.15934225) × cos(0.90387516) × R
    0.000191739999999996 × 0.618569791450217 × 6371000     		du = 755.629727018469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90399376)-sin(0.90387516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618476599538634-0.618569791450217)×R²
    abs(0.15934225-0.15915051)×9.31919115823021e-05×R²
    0.000191739999999996×9.31919115823021e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.31919115823021e-05×40589641000000     		ar = 570911.266633039m²