Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17213 / 16203
↖ ↑ ↗
← N  1.988126°
E  9.107666°		 ← 1 220.90 m → N  1.988126°
E  9.118653°		 →
↑
1 220.87 m
↓
↑
1 220.87 m
↓
N  1.977147°
E  9.107666°		 ← 1 220.91 m →
1 490 576 m²		 N  1.977147°
E  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525314331054688 y=0.494491577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525314331054688 × 215)
    floor (0.525314331054688 × 32768)
    floor (17213.5)     		tx = 17213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494491577148438 × 215)
    floor (0.494491577148438 × 32768)
    floor (16203.5)     		ty = 16203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17213 / 16203 ti = "15/17213/16203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17213/16203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17213 ÷ 215
    17213 ÷ 32768     		x = 0.525299072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16203 ÷ 215
    16203 ÷ 32768     		y = 0.494476318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525299072265625 × 2 - 1) × π
    0.05059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15895876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494476318359375 × 2 - 1) × π
    0.01104736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0347063153249207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15895876} λ = 0.15895876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0347063153249207))-π/2
    2×atan(1.03531560781902)-π/2
    2×0.802747838380287-π/2
    1.60549567676057-1.57079632675     		φ = 0.03469935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15895876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.107666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03469935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.988126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17213 KachelY 16203 0.15895876 0.03469935 9.107666 1.988126
    Oben rechts KachelX + 1 17214 KachelY 16203 0.15915051 0.03469935 9.118653 1.988126
    Unten links KachelX 17213 KachelY + 1 16204 0.15895876 0.03450772 9.107666 1.977147
    Unten rechts KachelX + 1 17214 KachelY + 1 16204 0.15915051 0.03450772 9.118653 1.977147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03469935-0.03450772) × R
    0.000191629999999998 × 6371000     		dl = 1220.87472999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03469935-0.03450772) × R
    0.000191629999999998 × 6371000     		dr = 1220.87472999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15895876-0.15915051) × cos(0.03469935) × R
    0.000191749999999991 × 0.999398037957535 × 6371000     		do = 1220.90386954185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15895876-0.15915051) × cos(0.03450772) × R
    0.000191749999999991 × 0.99940466770967 × 6371000     		du = 1220.91196870728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03469935)-sin(0.03450772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999398037957535-0.99940466770967)×R²
    abs(0.15915051-0.15895876)×6.62975213439054e-06×R²
    0.000191749999999991×6.62975213439054e-06×6371000²
    0.000191749999999991×6.62975213439054e-06×40589641000000     		ar = 1490575.63067746m²