Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17212 / 18155
↖ ↑ ↗
← S 19.093267°
E  9.096680°		 ← 1 154.43 m → S 19.093267°
E  9.107666°		 →
↑
1 154.36 m
↓
↑
1 154.36 m
↓
S 19.103648°
E  9.096680°		 ← 1 154.36 m →
1 332 592 m²		 S 19.103648°
E  9.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525283813476562 y=0.554061889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525283813476562 × 215)
    floor (0.525283813476562 × 32768)
    floor (17212.5)     		tx = 17212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554061889648438 × 215)
    floor (0.554061889648438 × 32768)
    floor (18155.5)     		ty = 18155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17212 / 18155 ti = "15/17212/18155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17212/18155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17212 ÷ 215
    17212 ÷ 32768     		x = 0.5252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18155 ÷ 215
    18155 ÷ 32768     		y = 0.554046630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5252685546875 × 2 - 1) × π
    0.050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15876701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.10809326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.339584996908478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15876701} λ = 0.15876701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339584996908478))-π/2
    2×atan(0.712065770948725)-π/2
    2×0.618777979521561-π/2
    1.23755595904312-1.57079632675     		φ = -0.33324037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15876701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33324037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.093267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17212 KachelY 18155 0.15876701 -0.33324037 9.096680 -19.093267
    Oben rechts KachelX + 1 17213 KachelY 18155 0.15895876 -0.33324037 9.107666 -19.093267
    Unten links KachelX 17212 KachelY + 1 18156 0.15876701 -0.33342156 9.096680 -19.103648
    Unten rechts KachelX + 1 17213 KachelY + 1 18156 0.15895876 -0.33342156 9.107666 -19.103648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33324037--0.33342156) × R
    0.000181189999999998 × 6371000     		dl = 1154.36148999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33324037--0.33342156) × R
    0.000181189999999998 × 6371000     		dr = 1154.36148999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15876701-0.15895876) × cos(-0.33324037) × R
    0.000191750000000018 × 0.944987359341112 × 6371000     		do = 1154.43364892507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15876701-0.15895876) × cos(-0.33342156) × R
    0.000191750000000018 × 0.944928075339579 × 6371000     		du = 1154.3612252619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33324037)-sin(-0.33342156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944987359341112-0.944928075339579)×R²
    abs(0.15895876-0.15876701)×5.92840015328777e-05×R²
    0.000191750000000018×5.92840015328777e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.92840015328777e-05×40589641000000     		ar = 1332591.94918099m²