Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17212 / 15160
↖ ↑ ↗
← N 79.785062°
W132.725830°		 ← 54.16 m → N 79.785062°
W132.723083°		 →
↑
54.15 m
↓
↑
54.15 m
↓
N 79.784575°
W132.725830°		 ← 54.17 m →
2 933 m²		 N 79.784575°
W132.723083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131320953369141 y=0.115665435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131320953369141 × 217)
    floor (0.131320953369141 × 131072)
    floor (17212.5)     		tx = 17212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115665435791016 × 217)
    floor (0.115665435791016 × 131072)
    floor (15160.5)     		ty = 15160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17212 / 15160 ti = "17/17212/15160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17212/15160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17212 ÷ 217
    17212 ÷ 131072     		x = 0.131317138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15160 ÷ 217
    15160 ÷ 131072     		y = 0.11566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131317138671875 × 2 - 1) × π
    -0.73736572265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31650274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11566162109375 × 2 - 1) × π
    0.7686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41486925525995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31650274} λ = -2.31650274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41486925525995))-π/2
    2×atan(11.1883074495719)-π/2
    2×1.48165417319258-π/2
    2.96330834638517-1.57079632675     		φ = 1.39251202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31650274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.725830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39251202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.785062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17212 KachelY 15160 -2.31650274 1.39251202 -132.725830 79.785062
    Oben rechts KachelX + 1 17213 KachelY 15160 -2.31645480 1.39251202 -132.723083 79.785062
    Unten links KachelX 17212 KachelY + 1 15161 -2.31650274 1.39250352 -132.725830 79.784575
    Unten rechts KachelX + 1 17213 KachelY + 1 15161 -2.31645480 1.39250352 -132.723083 79.784575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39251202-1.39250352) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dl = 54.1535000004962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39251202-1.39250352) × R
    8.50000000007789e-06 × 6371000     		dr = 54.1535000004962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31650274--2.31645480) × cos(1.39251202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177341336819399 × 6371000     		do = 54.1646090306186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31650274--2.31645480) × cos(1.39250352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17734970208293 × 6371000     		du = 54.1671639974229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39251202)-sin(1.39250352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177341336819399-0.17734970208293)×R²
    abs(-2.31645480--2.31650274)×8.36526353123479e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.36526353123479e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.36526353123479e-06×40589641000000     		ar = 2933.27233547236m²