Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17211 / 18124
↖ ↑ ↗
← S 18.771115°
E  9.085693°		 ← 1 156.66 m → S 18.771115°
E  9.096680°		 →
↑
1 156.66 m
↓
↑
1 156.66 m
↓
S 18.781517°
E  9.085693°		 ← 1 156.59 m →
1 337 818 m²		 S 18.781517°
E  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525253295898438 y=0.553115844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525253295898438 × 215)
    floor (0.525253295898438 × 32768)
    floor (17211.5)     		tx = 17211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553115844726562 × 215)
    floor (0.553115844726562 × 32768)
    floor (18124.5)     		ty = 18124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17211 / 18124 ti = "15/17211/18124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17211/18124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17211 ÷ 215
    17211 ÷ 32768     		x = 0.525238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18124 ÷ 215
    18124 ÷ 32768     		y = 0.5531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525238037109375 × 2 - 1) × π
    0.05047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15857526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5531005859375 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.333640821355591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15857526} λ = 0.15857526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.333640821355591))-π/2
    2×atan(0.716311019648362)-π/2
    2×0.621589282347722-π/2
    1.24317856469544-1.57079632675     		φ = -0.32761776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15857526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.085693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32761776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.771115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17211 KachelY 18124 0.15857526 -0.32761776 9.085693 -18.771115
    Oben rechts KachelX + 1 17212 KachelY 18124 0.15876701 -0.32761776 9.096680 -18.771115
    Unten links KachelX 17211 KachelY + 1 18125 0.15857526 -0.32779931 9.085693 -18.781517
    Unten rechts KachelX + 1 17212 KachelY + 1 18125 0.15876701 -0.32779931 9.096680 -18.781517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32761776--0.32779931) × R
    0.00018155000000003 × 6371000     		dl = 1156.65505000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32761776--0.32779931) × R
    0.00018155000000003 × 6371000     		dr = 1156.65505000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15857526-0.15876701) × cos(-0.32761776) × R
    0.000191749999999991 × 0.946811606636437 × 6371000     		do = 1156.66222102258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15857526-0.15876701) × cos(-0.32779931) × R
    0.000191749999999991 × 0.946753170347072 × 6371000     		du = 1156.59083295786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32761776)-sin(-0.32779931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946811606636437-0.946753170347072)×R²
    abs(0.15876701-0.15857526)×5.84362893657486e-05×R²
    0.000191749999999991×5.84362893657486e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.84362893657486e-05×40589641000000     		ar = 1337817.91708201m²