Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17203 / 18131
↖ ↑ ↗
← S 18.843913°
E  8.997803°		 ← 1 156.16 m → S 18.843913°
E  9.008789°		 →
↑
1 156.08 m
↓
↑
1 156.08 m
↓
S 18.854310°
E  8.997803°		 ← 1 156.09 m →
1 336 576 m²		 S 18.854310°
E  9.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525009155273438 y=0.553329467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525009155273438 × 215)
    floor (0.525009155273438 × 32768)
    floor (17203.5)     		tx = 17203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553329467773438 × 215)
    floor (0.553329467773438 × 32768)
    floor (18131.5)     		ty = 18131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17203 / 18131 ti = "15/17203/18131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17203/18131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17203 ÷ 215
    17203 ÷ 32768     		x = 0.524993896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18131 ÷ 215
    18131 ÷ 32768     		y = 0.553314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524993896484375 × 2 - 1) × π
    0.04998779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15704128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553314208984375 × 2 - 1) × π
    -0.10662841796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.334983054544952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15704128} λ = 0.15704128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334983054544952))-π/2
    2×atan(0.715350208184651)-π/2
    2×0.620953998742071-π/2
    1.24190799748414-1.57079632675     		φ = -0.32888833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15704128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.997803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32888833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.843913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17203 KachelY 18131 0.15704128 -0.32888833 8.997803 -18.843913
    Oben rechts KachelX + 1 17204 KachelY 18131 0.15723303 -0.32888833 9.008789 -18.843913
    Unten links KachelX 17203 KachelY + 1 18132 0.15704128 -0.32906979 8.997803 -18.854310
    Unten rechts KachelX + 1 17204 KachelY + 1 18132 0.15723303 -0.32906979 9.008789 -18.854310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32888833--0.32906979) × R
    0.000181459999999967 × 6371000     		dl = 1156.08165999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32888833--0.32906979) × R
    0.000181459999999967 × 6371000     		dr = 1156.08165999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15704128-0.15723303) × cos(-0.32888833) × R
    0.000191749999999991 × 0.946401987803243 × 6371000     		do = 1156.16181457841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15704128-0.15723303) × cos(-0.32906979) × R
    0.000191749999999991 × 0.946343362249595 × 6371000     		du = 1156.09019530102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32888833)-sin(-0.32906979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946401987803243-0.946343362249595)×R²
    abs(0.15723303-0.15704128)×5.86255536486613e-05×R²
    0.000191749999999991×5.86255536486613e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.86255536486613e-05×40589641000000     		ar = 1336576.07462698m²