Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17202 / 18190
↖ ↑ ↗
← S 19.456234°
E  8.986817°		 ← 1 151.82 m → S 19.456234°
E  8.997803°		 →
↑
1 151.81 m
↓
↑
1 151.81 m
↓
S 19.466592°
E  8.986817°		 ← 1 151.75 m →
1 326 638 m²		 S 19.466592°
E  8.997803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524978637695312 y=0.555130004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524978637695312 × 215)
    floor (0.524978637695312 × 32768)
    floor (17202.5)     		tx = 17202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555130004882812 × 215)
    floor (0.555130004882812 × 32768)
    floor (18190.5)     		ty = 18190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17202 / 18190 ti = "15/17202/18190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17202/18190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17202 ÷ 215
    17202 ÷ 32768     		x = 0.52496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18190 ÷ 215
    18190 ÷ 32768     		y = 0.55511474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52496337890625 × 2 - 1) × π
    0.0499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15684954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55511474609375 × 2 - 1) × π
    -0.1102294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.346296162855286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15684954} λ = 0.15684954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.346296162855286))-π/2
    2×atan(0.707302979213929)-π/2
    2×0.615610495258289-π/2
    1.23122099051658-1.57079632675     		φ = -0.33957534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15684954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.986817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33957534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.456234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17202 KachelY 18190 0.15684954 -0.33957534 8.986817 -19.456234
    Oben rechts KachelX + 1 17203 KachelY 18190 0.15704128 -0.33957534 8.997803 -19.456234
    Unten links KachelX 17202 KachelY + 1 18191 0.15684954 -0.33975613 8.986817 -19.466592
    Unten rechts KachelX + 1 17203 KachelY + 1 18191 0.15704128 -0.33975613 8.997803 -19.466592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33957534--0.33975613) × R
    0.000180789999999986 × 6371000     		dl = 1151.81308999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33957534--0.33975613) × R
    0.000180789999999986 × 6371000     		dr = 1151.81308999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15684954-0.15704128) × cos(-0.33957534) × R
    0.000191739999999996 × 0.942896199146282 × 6371000     		do = 1151.81893363604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15684954-0.15704128) × cos(-0.33975613) × R
    0.000191739999999996 × 0.942835964990676 × 6371000     		du = 1151.74535306488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33957534)-sin(-0.33975613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942896199146282-0.942835964990676)×R²
    abs(0.15704128-0.15684954)×6.0234155606409e-05×R²
    0.000191739999999996×6.0234155606409e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.0234155606409e-05×40589641000000     		ar = 1326637.75315263m²