Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17201 / 11103
↖ ↑ ↗
← N 50.071244°
E  8.975830°		 ← 784.09 m → N 50.071244°
E  8.986817°		 →
↑
784.14 m
↓
↑
784.14 m
↓
N 50.064192°
E  8.975830°		 ← 784.21 m →
614 884 m²		 N 50.064192°
E  8.986817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524948120117188 y=0.338851928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524948120117188 × 215)
    floor (0.524948120117188 × 32768)
    floor (17201.5)     		tx = 17201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338851928710938 × 215)
    floor (0.338851928710938 × 32768)
    floor (11103.5)     		ty = 11103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17201 / 11103 ti = "15/17201/11103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17201/11103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17201 ÷ 215
    17201 ÷ 32768     		x = 0.524932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11103 ÷ 215
    11103 ÷ 32768     		y = 0.338836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524932861328125 × 2 - 1) × π
    0.04986572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15665779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338836669921875 × 2 - 1) × π
    0.32232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01261906757407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15665779} λ = 0.15665779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01261906757407))-π/2
    2×atan(2.7528013545787)-π/2
    2×1.22235219460971-π/2
    2.44470438921942-1.57079632675     		φ = 0.87390806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15665779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.975830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87390806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.071244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17201 KachelY 11103 0.15665779 0.87390806 8.975830 50.071244
    Oben rechts KachelX + 1 17202 KachelY 11103 0.15684954 0.87390806 8.986817 50.071244
    Unten links KachelX 17201 KachelY + 1 11104 0.15665779 0.87378498 8.975830 50.064192
    Unten rechts KachelX + 1 17202 KachelY + 1 11104 0.15684954 0.87378498 8.986817 50.064192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87390806-0.87378498) × R
    0.000123079999999942 × 6371000     		dl = 784.142679999631m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87390806-0.87378498) × R
    0.000123079999999942 × 6371000     		dr = 784.142679999631m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15665779-0.15684954) × cos(0.87390806) × R
    0.000191750000000018 × 0.641834587307802 × 6371000     		do = 784.090323862837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15665779-0.15684954) × cos(0.87378498) × R
    0.000191750000000018 × 0.641928965496643 × 6371000     		du = 784.20561996267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87390806)-sin(0.87378498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641834587307802-0.641928965496643)×R²
    abs(0.15684954-0.15665779)×9.4378188841282e-05×R²
    0.000191750000000018×9.4378188841282e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.4378188841282e-05×40589641000000     		ar = 614883.89298836m²