Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17201 / 11089
↖ ↑ ↗
← N 50.169862°
E  8.975830°		 ← 782.48 m → N 50.169862°
E  8.986817°		 →
↑
782.49 m
↓
↑
782.49 m
↓
N 50.162825°
E  8.975830°		 ← 782.59 m →
612 322 m²		 N 50.162825°
E  8.986817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524948120117188 y=0.338424682617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524948120117188 × 215)
    floor (0.524948120117188 × 32768)
    floor (17201.5)     		tx = 17201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338424682617188 × 215)
    floor (0.338424682617188 × 32768)
    floor (11089.5)     		ty = 11089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17201 / 11089 ti = "15/17201/11089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17201/11089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17201 ÷ 215
    17201 ÷ 32768     		x = 0.524932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11089 ÷ 215
    11089 ÷ 32768     		y = 0.338409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524932861328125 × 2 - 1) × π
    0.04986572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15665779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338409423828125 × 2 - 1) × π
    0.32318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01530353395279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15665779} λ = 0.15665779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01530353395279))-π/2
    2×atan(2.76020108498235)-π/2
    2×1.22321279975724-π/2
    2.44642559951449-1.57079632675     		φ = 0.87562927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15665779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.975830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87562927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.169862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17201 KachelY 11089 0.15665779 0.87562927 8.975830 50.169862
    Oben rechts KachelX + 1 17202 KachelY 11089 0.15684954 0.87562927 8.986817 50.169862
    Unten links KachelX 17201 KachelY + 1 11090 0.15665779 0.87550645 8.975830 50.162825
    Unten rechts KachelX + 1 17202 KachelY + 1 11090 0.15684954 0.87550645 8.986817 50.162825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87562927-0.87550645) × R
    0.000122819999999968 × 6371000     		dl = 782.486219999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87562927-0.87550645) × R
    0.000122819999999968 × 6371000     		dr = 782.486219999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15665779-0.15684954) × cos(0.87562927) × R
    0.000191750000000018 × 0.64051373918435 × 6371000     		do = 782.47672395194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15665779-0.15684954) × cos(0.87550645) × R
    0.000191750000000018 × 0.640608053568081 × 6371000     		du = 782.591942104945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87562927)-sin(0.87550645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64051373918435-0.640608053568081)×R²
    abs(0.15684954-0.15665779)×9.43143837307536e-05×R²
    0.000191750000000018×9.43143837307536e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.43143837307536e-05×40589641000000     		ar = 612322.333040712m²