Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17200 / 18160
↖ ↑ ↗
← S 19.145168°
E  8.964844°		 ← 1 154.07 m → S 19.145168°
E  8.975830°		 →
↑
1 154.04 m
↓
↑
1 154.04 m
↓
S 19.155547°
E  8.964844°		 ← 1 154 m →
1 331 806 m²		 S 19.155547°
E  8.975830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524917602539062 y=0.554214477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524917602539062 × 215)
    floor (0.524917602539062 × 32768)
    floor (17200.5)     		tx = 17200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554214477539062 × 215)
    floor (0.554214477539062 × 32768)
    floor (18160.5)     		ty = 18160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17200 / 18160 ti = "15/17200/18160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17200/18160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17200 ÷ 215
    17200 ÷ 32768     		x = 0.52490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18160 ÷ 215
    18160 ÷ 32768     		y = 0.55419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52490234375 × 2 - 1) × π
    0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55419921875 × 2 - 1) × π
    -0.1083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.340543734900879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15646604} λ = 0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340543734900879))-π/2
    2×atan(0.711383413594255)-π/2
    2×0.618325052966103-π/2
    1.23665010593221-1.57079632675     		φ = -0.33414622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33414622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.145168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17200 KachelY 18160 0.15646604 -0.33414622 8.964844 -19.145168
    Oben rechts KachelX + 1 17201 KachelY 18160 0.15665779 -0.33414622 8.975830 -19.145168
    Unten links KachelX 17200 KachelY + 1 18161 0.15646604 -0.33432736 8.964844 -19.155547
    Unten rechts KachelX + 1 17201 KachelY + 1 18161 0.15665779 -0.33432736 8.975830 -19.155547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33414622--0.33432736) × R
    0.000181140000000024 × 6371000     		dl = 1154.04294000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33414622--0.33432736) × R
    0.000181140000000024 × 6371000     		dr = 1154.04294000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15646604-0.15665779) × cos(-0.33414622) × R
    0.000191749999999991 × 0.944690661931055 × 6371000     		do = 1154.0711917234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15646604-0.15665779) × cos(-0.33432736) × R
    0.000191749999999991 × 0.944631239263741 × 6371000     		du = 1153.99859866067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33414622)-sin(-0.33432736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944690661931055-0.944631239263741)×R²
    abs(0.15665779-0.15646604)×5.94226673141796e-05×R²
    0.000191749999999991×5.94226673141796e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.94226673141796e-05×40589641000000     		ar = 1331805.82695146m²