Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17199 / 18181
↖ ↑ ↗
← S 19.362976°
E  8.953857°		 ← 1 152.54 m → S 19.362976°
E  8.964844°		 →
↑
1 152.45 m
↓
↑
1 152.45 m
↓
S 19.373341°
E  8.953857°		 ← 1 152.47 m →
1 328 202 m²		 S 19.373341°
E  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524887084960938 y=0.554855346679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524887084960938 × 215)
    floor (0.524887084960938 × 32768)
    floor (17199.5)     		tx = 17199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554855346679688 × 215)
    floor (0.554855346679688 × 32768)
    floor (18181.5)     		ty = 18181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17199 / 18181 ti = "15/17199/18181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17199/18181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17199 ÷ 215
    17199 ÷ 32768     		x = 0.524871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18181 ÷ 215
    18181 ÷ 32768     		y = 0.554840087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524871826171875 × 2 - 1) × π
    0.04974365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15627429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554840087890625 × 2 - 1) × π
    -0.10968017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.344570434468964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15627429} λ = 0.15627429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.344570434468964))-π/2
    2×atan(0.708524645872113)-π/2
    2×0.616424320146146-π/2
    1.23284864029229-1.57079632675     		φ = -0.33794769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15627429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.953857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33794769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.362976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17199 KachelY 18181 0.15627429 -0.33794769 8.953857 -19.362976
    Oben rechts KachelX + 1 17200 KachelY 18181 0.15646604 -0.33794769 8.964844 -19.362976
    Unten links KachelX 17199 KachelY + 1 18182 0.15627429 -0.33812858 8.953857 -19.373341
    Unten rechts KachelX + 1 17200 KachelY + 1 18182 0.15646604 -0.33812858 8.964844 -19.373341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33794769--0.33812858) × R
    0.000180889999999989 × 6371000     		dl = 1152.45018999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33794769--0.33812858) × R
    0.000180889999999989 × 6371000     		dr = 1152.45018999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15627429-0.15646604) × cos(-0.33794769) × R
    0.000191749999999991 × 0.943437098512484 × 6371000     		do = 1152.53978944891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15627429-0.15646604) × cos(-0.33812858) × R
    0.000191749999999991 × 0.943377108714781 × 6371000     		du = 1152.46650355744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33794769)-sin(-0.33812858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943437098512484-0.943377108714781)×R²
    abs(0.15646604-0.15627429)×5.99897977034969e-05×R²
    0.000191749999999991×5.99897977034969e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.99897977034969e-05×40589641000000     		ar = 1328202.47378467m²