Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17197 / 10823
↖ ↑ ↗
← N 52.005174°
E  8.931885°		 ← 752.03 m → N 52.005174°
E  8.942871°		 →
↑
752.03 m
↓
↑
752.03 m
↓
N 51.998411°
E  8.931885°		 ← 752.14 m →
565 593 m²		 N 51.998411°
E  8.942871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524826049804688 y=0.330307006835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524826049804688 × 215)
    floor (0.524826049804688 × 32768)
    floor (17197.5)     		tx = 17197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330307006835938 × 215)
    floor (0.330307006835938 × 32768)
    floor (10823.5)     		ty = 10823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17197 / 10823 ti = "15/17197/10823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17197/10823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17197 ÷ 215
    17197 ÷ 32768     		x = 0.524810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10823 ÷ 215
    10823 ÷ 32768     		y = 0.330291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524810791015625 × 2 - 1) × π
    0.04962158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15589080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330291748046875 × 2 - 1) × π
    0.33941650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06630839514853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15589080} λ = 0.15589080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06630839514853))-π/2
    2×atan(2.90463691176633)-π/2
    2×1.23922892031739-π/2
    2.47845784063478-1.57079632675     		φ = 0.90766151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15589080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.931885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90766151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.005174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17197 KachelY 10823 0.15589080 0.90766151 8.931885 52.005174
    Oben rechts KachelX + 1 17198 KachelY 10823 0.15608255 0.90766151 8.942871 52.005174
    Unten links KachelX 17197 KachelY + 1 10824 0.15589080 0.90754347 8.931885 51.998411
    Unten rechts KachelX + 1 17198 KachelY + 1 10824 0.15608255 0.90754347 8.942871 51.998411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90766151-0.90754347) × R
    0.00011803999999993 × 6371000     		dl = 752.032839999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90766151-0.90754347) × R
    0.00011803999999993 × 6371000     		dr = 752.032839999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15589080-0.15608255) × cos(0.90766151) × R
    0.000191749999999991 × 0.61559031626189 × 6371000     		do = 752.029292265401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15589080-0.15608255) × cos(0.90754347) × R
    0.000191749999999991 × 0.615683335324272 × 6371000     		du = 752.142928003005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90766151)-sin(0.90754347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61559031626189-0.615683335324272)×R²
    abs(0.15608255-0.15589080)×9.3019062382238e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3019062382238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3019062382238e-05×40589641000000     		ar = 565593.453985199m²