Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17196 / 18180
↖ ↑ ↗
← S 19.352611°
E  8.920898°		 ← 1 152.61 m → S 19.352611°
E  8.931885°		 →
↑
1 152.58 m
↓
↑
1 152.58 m
↓
S 19.362976°
E  8.920898°		 ← 1 152.54 m →
1 328 434 m²		 S 19.362976°
E  8.931885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524795532226562 y=0.554824829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524795532226562 × 215)
    floor (0.524795532226562 × 32768)
    floor (17196.5)     		tx = 17196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554824829101562 × 215)
    floor (0.554824829101562 × 32768)
    floor (18180.5)     		ty = 18180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17196 / 18180 ti = "15/17196/18180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17196/18180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17196 ÷ 215
    17196 ÷ 32768     		x = 0.5247802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18180 ÷ 215
    18180 ÷ 32768     		y = 0.5548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5247802734375 × 2 - 1) × π
    0.049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15569905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.344378686870483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15569905} λ = 0.15569905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.344378686870483))-π/2
    2×atan(0.708660516797469)-π/2
    2×0.616514773919976-π/2
    1.23302954783995-1.57079632675     		φ = -0.33776678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15569905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.920898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33776678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.352611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17196 KachelY 18180 0.15569905 -0.33776678 8.920898 -19.352611
    Oben rechts KachelX + 1 17197 KachelY 18180 0.15589080 -0.33776678 8.931885 -19.352611
    Unten links KachelX 17196 KachelY + 1 18181 0.15569905 -0.33794769 8.920898 -19.362976
    Unten rechts KachelX + 1 17197 KachelY + 1 18181 0.15589080 -0.33794769 8.931885 -19.362976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33776678--0.33794769) × R
    0.000180910000000034 × 6371000     		dl = 1152.57761000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33776678--0.33794769) × R
    0.000180910000000034 × 6371000     		dr = 1152.57761000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15569905-0.15589080) × cos(-0.33776678) × R
    0.000191749999999991 × 0.943497064067419 × 6371000     		do = 1152.61304572447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15569905-0.15589080) × cos(-0.33794769) × R
    0.000191749999999991 × 0.943437098512484 × 6371000     		du = 1152.53978944891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33776678)-sin(-0.33794769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943497064067419-0.943437098512484)×R²
    abs(0.15589080-0.15569905)×5.99655549349265e-05×R²
    0.000191749999999991×5.99655549349265e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.99655549349265e-05×40589641000000     		ar = 1328433.77634767m²