Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17194 / 11148
↖ ↑ ↗
← N 49.752880°
E  8.898926°		 ← 789.28 m → N 49.752880°
E  8.909912°		 →
↑
789.37 m
↓
↑
789.37 m
↓
N 49.745781°
E  8.898926°		 ← 789.40 m →
623 080 m²		 N 49.745781°
E  8.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524734497070312 y=0.340225219726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524734497070312 × 215)
    floor (0.524734497070312 × 32768)
    floor (17194.5)     		tx = 17194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340225219726562 × 215)
    floor (0.340225219726562 × 32768)
    floor (11148.5)     		ty = 11148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17194 / 11148 ti = "15/17194/11148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17194/11148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17194 ÷ 215
    17194 ÷ 32768     		x = 0.52471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11148 ÷ 215
    11148 ÷ 32768     		y = 0.3402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52471923828125 × 2 - 1) × π
    0.0494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15531555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3402099609375 × 2 - 1) × π
    0.319580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00399042564246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15531555} λ = 0.15531555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00399042564246))-π/2
    2×atan(2.7291506010628)-π/2
    2×1.21957394698835-π/2
    2.4391478939767-1.57079632675     		φ = 0.86835157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15531555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86835157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.752880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17194 KachelY 11148 0.15531555 0.86835157 8.898926 49.752880
    Oben rechts KachelX + 1 17195 KachelY 11148 0.15550730 0.86835157 8.909912 49.752880
    Unten links KachelX 17194 KachelY + 1 11149 0.15531555 0.86822767 8.898926 49.745781
    Unten rechts KachelX + 1 17195 KachelY + 1 11149 0.15550730 0.86822767 8.909912 49.745781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86835157-0.86822767) × R
    0.000123899999999955 × 6371000     		dl = 789.366899999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86835157-0.86822767) × R
    0.000123899999999955 × 6371000     		dr = 789.366899999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15531555-0.15550730) × cos(0.86835157) × R
    0.000191749999999991 × 0.64608561331874 × 6371000     		do = 789.283544090457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15531555-0.15550730) × cos(0.86822767) × R
    0.000191749999999991 × 0.64618017688641 × 6371000     		du = 789.399066656342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86835157)-sin(0.86822767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64608561331874-0.64618017688641)×R²
    abs(0.15550730-0.15531555)×9.45635676700141e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45635676700141e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45635676700141e-05×40589641000000     		ar = 623079.900061603m²