Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17194 / 10858
↖ ↑ ↗
← N 51.767840°
E  8.898926°		 ← 756.01 m → N 51.767840°
E  8.909912°		 →
↑
756.05 m
↓
↑
756.05 m
↓
N 51.761040°
E  8.898926°		 ← 756.12 m →
571 622 m²		 N 51.761040°
E  8.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524734497070312 y=0.331375122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524734497070312 × 215)
    floor (0.524734497070312 × 32768)
    floor (17194.5)     		tx = 17194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331375122070312 × 215)
    floor (0.331375122070312 × 32768)
    floor (10858.5)     		ty = 10858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17194 / 10858 ti = "15/17194/10858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17194/10858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17194 ÷ 215
    17194 ÷ 32768     		x = 0.52471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10858 ÷ 215
    10858 ÷ 32768     		y = 0.33135986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52471923828125 × 2 - 1) × π
    0.0494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15531555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33135986328125 × 2 - 1) × π
    0.3372802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05959722920172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15531555} λ = 0.15531555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05959722920172))-π/2
    2×atan(2.88520867740883)-π/2
    2×1.23715778972759-π/2
    2.47431557945518-1.57079632675     		φ = 0.90351925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15531555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90351925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.767840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17194 KachelY 10858 0.15531555 0.90351925 8.898926 51.767840
    Oben rechts KachelX + 1 17195 KachelY 10858 0.15550730 0.90351925 8.909912 51.767840
    Unten links KachelX 17194 KachelY + 1 10859 0.15531555 0.90340058 8.898926 51.761040
    Unten rechts KachelX + 1 17195 KachelY + 1 10859 0.15550730 0.90340058 8.909912 51.761040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90351925-0.90340058) × R
    0.000118669999999987 × 6371000     		dl = 756.04656999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90351925-0.90340058) × R
    0.000118669999999987 × 6371000     		dr = 756.04656999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15531555-0.15550730) × cos(0.90351925) × R
    0.000191749999999991 × 0.618849401381119 × 6371000     		do = 756.010718566142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15531555-0.15550730) × cos(0.90340058) × R
    0.000191749999999991 × 0.618942613454188 × 6371000     		du = 756.124590093177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90351925)-sin(0.90340058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618849401381119-0.618942613454188)×R²
    abs(0.15550730-0.15531555)×9.32120730688935e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32120730688935e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32120730688935e-05×40589641000000     		ar = 571622.357414918m²