Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17193 / 18151
↖ ↑ ↗
← S 19.051734°
E  8.887940°		 ← 1 154.66 m → S 19.051734°
E  8.898926°		 →
↑
1 154.68 m
↓
↑
1 154.68 m
↓
S 19.062118°
E  8.887940°		 ← 1 154.59 m →
1 333 224 m²		 S 19.062118°
E  8.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524703979492188 y=0.553939819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524703979492188 × 215)
    floor (0.524703979492188 × 32768)
    floor (17193.5)     		tx = 17193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553939819335938 × 215)
    floor (0.553939819335938 × 32768)
    floor (18151.5)     		ty = 18151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17193 / 18151 ti = "15/17193/18151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17193/18151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17193 ÷ 215
    17193 ÷ 32768     		x = 0.524688720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18151 ÷ 215
    18151 ÷ 32768     		y = 0.553924560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524688720703125 × 2 - 1) × π
    0.04937744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15512381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553924560546875 × 2 - 1) × π
    -0.10784912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.338818006514557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15512381} λ = 0.15512381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.338818006514557))-π/2
    2×atan(0.712612128053424)-π/2
    2×0.619140423068035-π/2
    1.23828084613607-1.57079632675     		φ = -0.33251548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15512381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.887940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33251548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.051734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17193 KachelY 18151 0.15512381 -0.33251548 8.887940 -19.051734
    Oben rechts KachelX + 1 17194 KachelY 18151 0.15531555 -0.33251548 8.898926 -19.051734
    Unten links KachelX 17193 KachelY + 1 18152 0.15512381 -0.33269672 8.887940 -19.062118
    Unten rechts KachelX + 1 17194 KachelY + 1 18152 0.15531555 -0.33269672 8.898926 -19.062118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33251548--0.33269672) × R
    0.000181240000000027 × 6371000     		dl = 1154.68004000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33251548--0.33269672) × R
    0.000181240000000027 × 6371000     		dr = 1154.68004000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15512381-0.15531555) × cos(-0.33251548) × R
    0.000191739999999996 × 0.945224227525021 × 6371000     		do = 1154.66279615993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15512381-0.15531555) × cos(-0.33269672) × R
    0.000191739999999996 × 0.945165051322812 × 6371000     		du = 1154.59050795877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33251548)-sin(-0.33269672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945224227525021-0.945165051322812)×R²
    abs(0.15531555-0.15512381)×5.91762022087439e-05×R²
    0.000191739999999996×5.91762022087439e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.91762022087439e-05×40589641000000     		ar = 1333224.35243469m²