Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17192 / 10600
↖ ↑ ↗
← N 76.382969°
W 85.561524°		 ← 143.81 m → N 76.382969°
W 85.556030°		 →
↑
143.79 m
↓
↑
143.79 m
↓
N 76.381676°
W 85.561524°		 ← 143.83 m →
20 680 m²		 N 76.381676°
W 85.556030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262336730957031 y=0.161750793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262336730957031 × 216)
    floor (0.262336730957031 × 65536)
    floor (17192.5)     		tx = 17192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161750793457031 × 216)
    floor (0.161750793457031 × 65536)
    floor (10600.5)     		ty = 10600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17192 / 10600 ti = "16/17192/10600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17192/10600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17192 ÷ 216
    17192 ÷ 65536     		x = 0.2623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10600 ÷ 216
    10600 ÷ 65536     		y = 0.1617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2623291015625 × 2 - 1) × π
    -0.475341796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.49333030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1617431640625 × 2 - 1) × π
    0.676513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12533038155481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49333030} λ = -1.49333030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12533038155481))-π/2
    2×atan(8.37566419602711)-π/2
    2×1.45196531787882-π/2
    2.90393063575765-1.57079632675     		φ = 1.33313431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49333030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.561524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33313431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.382969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17192 KachelY 10600 -1.49333030 1.33313431 -85.561524 76.382969
    Oben rechts KachelX + 1 17193 KachelY 10600 -1.49323442 1.33313431 -85.556030 76.382969
    Unten links KachelX 17192 KachelY + 1 10601 -1.49333030 1.33311174 -85.561524 76.381676
    Unten rechts KachelX + 1 17193 KachelY + 1 10601 -1.49323442 1.33311174 -85.556030 76.381676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33313431-1.33311174) × R
    2.2569999999833e-05 × 6371000     		dl = 143.793469998936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33313431-1.33311174) × R
    2.2569999999833e-05 × 6371000     		dr = 143.793469998936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49333030--1.49323442) × cos(1.33313431) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.235431006963721 × 6371000     		do = 143.813379041585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49333030--1.49323442) × cos(1.33311174) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.235452942485076 × 6371000     		du = 143.826778387269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33313431)-sin(1.33311174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235431006963721-0.235452942485076)×R²
    abs(-1.49323442--1.49333030)×2.19355213554873e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.19355213554873e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.19355213554873e-05×40589641000000     		ar = 20680.3881748083m²