Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1719 / 1978
↖ ↑ ↗
← N 79.456521°
W142.229004°		 ← 447.08 m → N 79.456521°
W142.207031°		 →
↑
447.12 m
↓
↑
447.12 m
↓
N 79.452500°
W142.229004°		 ← 447.24 m →
199 932 m²		 N 79.452500°
W142.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104949951171875 y=0.120758056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104949951171875 × 214)
    floor (0.104949951171875 × 16384)
    floor (1719.5)     		tx = 1719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120758056640625 × 214)
    floor (0.120758056640625 × 16384)
    floor (1978.5)     		ty = 1978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1719 / 1978 ti = "14/1719/1978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1719/1978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1719 ÷ 214
    1719 ÷ 16384     		x = 0.10491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1978 ÷ 214
    1978 ÷ 16384     		y = 0.1207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10491943359375 × 2 - 1) × π
    -0.7901611328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.48236441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1207275390625 × 2 - 1) × π
    0.758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38303915391223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48236441} λ = -2.48236441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38303915391223))-π/2
    2×atan(10.8377905768383)-π/2
    2×1.47878712058132-π/2
    2.95757424116265-1.57079632675     		φ = 1.38677791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48236441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.229004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38677791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.456521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1719 KachelY 1978 -2.48236441 1.38677791 -142.229004 79.456521
    Oben rechts KachelX + 1 1720 KachelY 1978 -2.48198091 1.38677791 -142.207031 79.456521
    Unten links KachelX 1719 KachelY + 1 1979 -2.48236441 1.38670773 -142.229004 79.452500
    Unten rechts KachelX + 1 1720 KachelY + 1 1979 -2.48198091 1.38670773 -142.207031 79.452500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38677791-1.38670773) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dl = 447.116780000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38677791-1.38670773) × R
    7.01800000000308e-05 × 6371000     		dr = 447.116780000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48236441--2.48198091) × cos(1.38677791) × R
    0.000383500000000314 × 0.182981611350923 × 6371000     		do = 447.075036909432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48236441--2.48198091) × cos(1.38670773) × R
    0.000383500000000314 × 0.183050606004706 × 6371000     		du = 447.243610063636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38677791)-sin(1.38670773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182981611350923-0.183050606004706)×R²
    abs(-2.48198091--2.48236441)×6.89946537831554e-05×R²
    0.000383500000000314×6.89946537831554e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.89946537831554e-05×40589641000000     		ar = 199932.436946241m²