Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17188 / 13216
↖ ↑ ↗
← N 80.689788°
W132.791748°		 ← 49.40 m → N 80.689788°
W132.789002°		 →
↑
49.38 m
↓
↑
49.38 m
↓
N 80.689344°
W132.791748°		 ← 49.40 m →
2 439 m²		 N 80.689344°
W132.789002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131137847900391 y=0.100833892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131137847900391 × 217)
    floor (0.131137847900391 × 131072)
    floor (17188.5)     		tx = 17188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100833892822266 × 217)
    floor (0.100833892822266 × 131072)
    floor (13216.5)     		ty = 13216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17188 / 13216 ti = "17/17188/13216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17188/13216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17188 ÷ 217
    17188 ÷ 131072     		x = 0.131134033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13216 ÷ 217
    13216 ÷ 131072     		y = 0.100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.73773193359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.31765322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100830078125 × 2 - 1) × π
    0.79833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50805858812134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31765322} λ = -2.31765322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50805858812134))-π/2
    2×atan(12.281064297259)-π/2
    2×1.48954940447619-π/2
    2.97909880895238-1.57079632675     		φ = 1.40830248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31765322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.791748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40830248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.689788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17188 KachelY 13216 -2.31765322 1.40830248 -132.791748 80.689788
    Oben rechts KachelX + 1 17189 KachelY 13216 -2.31760529 1.40830248 -132.789002 80.689788
    Unten links KachelX 17188 KachelY + 1 13217 -2.31765322 1.40829473 -132.791748 80.689344
    Unten rechts KachelX + 1 17189 KachelY + 1 13217 -2.31760529 1.40829473 -132.789002 80.689344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40830248-1.40829473) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dl = 49.3752499998283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40830248-1.40829473) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dr = 49.3752499998283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31765322--2.31760529) × cos(1.40830248) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161779702237399 × 6371000     		do = 49.4013782880379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31765322--2.31760529) × cos(1.40829473) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161787350141005 × 6371000     		du = 49.4037136674083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40830248)-sin(1.40829473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161779702237399-0.161787350141005)×R²
    abs(-2.31760529--2.31765322)×7.64790360616163e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.64790360616163e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.64790360616163e-06×40589641000000     		ar = 2439.26305849483m²