Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17188 / 10842
↖ ↑ ↗
← N 51.876491°
E  8.833008°		 ← 754.19 m → N 51.876491°
E  8.843994°		 →
↑
754.20 m
↓
↑
754.20 m
↓
N 51.869708°
E  8.833008°		 ← 754.30 m →
568 852 m²		 N 51.869708°
E  8.843994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524551391601562 y=0.330886840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524551391601562 × 215)
    floor (0.524551391601562 × 32768)
    floor (17188.5)     		tx = 17188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330886840820312 × 215)
    floor (0.330886840820312 × 32768)
    floor (10842.5)     		ty = 10842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17188 / 10842 ti = "15/17188/10842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17188/10842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17188 ÷ 215
    17188 ÷ 32768     		x = 0.5245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10842 ÷ 215
    10842 ÷ 32768     		y = 0.33087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5245361328125 × 2 - 1) × π
    0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33087158203125 × 2 - 1) × π
    0.3382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0626651907774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15416507} λ = 0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0626651907774))-π/2
    2×atan(2.89407397901766)-π/2
    2×1.23810594929724-π/2
    2.47621189859448-1.57079632675     		φ = 0.90541557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90541557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.876491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17188 KachelY 10842 0.15416507 0.90541557 8.833008 51.876491
    Oben rechts KachelX + 1 17189 KachelY 10842 0.15435682 0.90541557 8.843994 51.876491
    Unten links KachelX 17188 KachelY + 1 10843 0.15416507 0.90529719 8.833008 51.869708
    Unten rechts KachelX + 1 17189 KachelY + 1 10843 0.15435682 0.90529719 8.843994 51.869708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90541557-0.90529719) × R
    0.000118379999999974 × 6371000     		dl = 754.198979999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90541557-0.90529719) × R
    0.000118379999999974 × 6371000     		dr = 754.198979999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15416507-0.15435682) × cos(0.90541557) × R
    0.000191750000000018 × 0.617358711904502 × 6371000     		do = 754.189633792054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15416507-0.15435682) × cos(0.90529719) × R
    0.000191750000000018 × 0.617451834967461 × 6371000     		du = 754.303396580845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90541557)-sin(0.90529719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617358711904502-0.617451834967461)×R²
    abs(0.15435682-0.15416507)×9.31230629589441e-05×R²
    0.000191750000000018×9.31230629589441e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.31230629589441e-05×40589641000000     		ar = 568851.953086242m²