Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17184 / 18144
↖ ↑ ↗
← S 18.979026°
E  8.789063°		 ← 1 155.23 m → S 18.979026°
E  8.800049°		 →
↑
1 155.19 m
↓
↑
1 155.19 m
↓
S 18.989415°
E  8.789063°		 ← 1 155.16 m →
1 334 466 m²		 S 18.989415°
E  8.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524429321289062 y=0.553726196289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524429321289062 × 215)
    floor (0.524429321289062 × 32768)
    floor (17184.5)     		tx = 17184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553726196289062 × 215)
    floor (0.553726196289062 × 32768)
    floor (18144.5)     		ty = 18144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17184 / 18144 ti = "15/17184/18144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17184/18144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17184 ÷ 215
    17184 ÷ 32768     		x = 0.5244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18144 ÷ 215
    18144 ÷ 32768     		y = 0.5537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5244140625 × 2 - 1) × π
    0.048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15339808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5537109375 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15339808} λ = 0.15339808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337475773325195))-π/2
    2×atan(0.713569261907555)-π/2
    2×0.619774917549129-π/2
    1.23954983509826-1.57079632675     		φ = -0.33124649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15339808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33124649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.979026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17184 KachelY 18144 0.15339808 -0.33124649 8.789063 -18.979026
    Oben rechts KachelX + 1 17185 KachelY 18144 0.15358983 -0.33124649 8.800049 -18.979026
    Unten links KachelX 17184 KachelY + 1 18145 0.15339808 -0.33142781 8.789063 -18.989415
    Unten rechts KachelX + 1 17185 KachelY + 1 18145 0.15358983 -0.33142781 8.800049 -18.989415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33124649--0.33142781) × R
    0.000181319999999985 × 6371000     		dl = 1155.1897199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33124649--0.33142781) × R
    0.000181319999999985 × 6371000     		dr = 1155.1897199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15339808-0.15358983) × cos(-0.33124649) × R
    0.000191750000000018 × 0.945637692287967 × 6371000     		do = 1155.22812117851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15339808-0.15358983) × cos(-0.33142781) × R
    0.000191750000000018 × 0.94557870748884 × 6371000     		du = 1155.15606303275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33124649)-sin(-0.33142781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945637692287967-0.94557870748884)×R²
    abs(0.15358983-0.15339808)×5.89847991271375e-05×R²
    0.000191750000000018×5.89847991271375e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.89847991271375e-05×40589641000000     		ar = 1334466.03308179m²