Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17184 / 10592
↖ ↑ ↗
← N 76.393312°
W 85.605469°		 ← 143.71 m → N 76.393312°
W 85.599975°		 →
↑
143.73 m
↓
↑
143.73 m
↓
N 76.392019°
W 85.605469°		 ← 143.72 m →
20 656 m²		 N 76.392019°
W 85.599975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262214660644531 y=0.161628723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262214660644531 × 216)
    floor (0.262214660644531 × 65536)
    floor (17184.5)     		tx = 17184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161628723144531 × 216)
    floor (0.161628723144531 × 65536)
    floor (10592.5)     		ty = 10592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17184 / 10592 ti = "16/17184/10592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17184/10592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17184 ÷ 216
    17184 ÷ 65536     		x = 0.26220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10592 ÷ 216
    10592 ÷ 65536     		y = 0.16162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26220703125 × 2 - 1) × π
    -0.4755859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.49409729
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16162109375 × 2 - 1) × π
    0.6767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.12609737194873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49409729} λ = -1.49409729}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12609737194873))-π/2
    2×atan(8.382090714232)-π/2
    2×1.45205557089622-π/2
    2.90411114179245-1.57079632675     		φ = 1.33331482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49409729} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.605469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33331482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.393312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17184 KachelY 10592 -1.49409729 1.33331482 -85.605469 76.393312
    Oben rechts KachelX + 1 17185 KachelY 10592 -1.49400141 1.33331482 -85.599975 76.393312
    Unten links KachelX 17184 KachelY + 1 10593 -1.49409729 1.33329226 -85.605469 76.392019
    Unten rechts KachelX + 1 17185 KachelY + 1 10593 -1.49400141 1.33329226 -85.599975 76.392019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33331482-1.33329226) × R
    2.25600000001158e-05 × 6371000     		dl = 143.729760000738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33331482-1.33329226) × R
    2.25600000001158e-05 × 6371000     		dr = 143.729760000738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49409729--1.49400141) × cos(1.33331482) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.235255567073022 × 6371000     		do = 143.706211324701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49409729--1.49400141) × cos(1.33329226) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.235277493833955 × 6371000     		du = 143.719605319068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33331482)-sin(1.33329226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235255567073022-0.235277493833955)×R²
    abs(-1.49400141--1.49409729)×2.19267609326557e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.19267609326557e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.19267609326557e-05×40589641000000     		ar = 20655.821822955m²