Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17182 / 10931
↖ ↑ ↗
← N 51.268789°
E  8.767090°		 ← 764.34 m → N 51.268789°
E  8.778076°		 →
↑
764.33 m
↓
↑
764.33 m
↓
N 51.261915°
E  8.767090°		 ← 764.45 m →
584 251 m²		 N 51.261915°
E  8.778076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524368286132812 y=0.333602905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524368286132812 × 215)
    floor (0.524368286132812 × 32768)
    floor (17182.5)     		tx = 17182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333602905273438 × 215)
    floor (0.333602905273438 × 32768)
    floor (10931.5)     		ty = 10931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17182 / 10931 ti = "15/17182/10931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17182/10931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17182 ÷ 215
    17182 ÷ 32768     		x = 0.52435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10931 ÷ 215
    10931 ÷ 32768     		y = 0.333587646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52435302734375 × 2 - 1) × π
    0.0487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15301458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333587646484375 × 2 - 1) × π
    0.33282470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04559965451266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15301458} λ = 0.15301458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04559965451266))-π/2
    2×atan(2.84510409173247)-π/2
    2×1.23280275054453-π/2
    2.46560550108907-1.57079632675     		φ = 0.89480917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15301458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.767090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89480917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.268789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17182 KachelY 10931 0.15301458 0.89480917 8.767090 51.268789
    Oben rechts KachelX + 1 17183 KachelY 10931 0.15320633 0.89480917 8.778076 51.268789
    Unten links KachelX 17182 KachelY + 1 10932 0.15301458 0.89468920 8.767090 51.261915
    Unten rechts KachelX + 1 17183 KachelY + 1 10932 0.15320633 0.89468920 8.778076 51.261915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89480917-0.89468920) × R
    0.00011997000000008 × 6371000     		dl = 764.328870000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89480917-0.89468920) × R
    0.00011997000000008 × 6371000     		dr = 764.328870000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15301458-0.15320633) × cos(0.89480917) × R
    0.000191749999999991 × 0.625667692299678 × 6371000     		do = 764.340210370171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15301458-0.15320633) × cos(0.89468920) × R
    0.000191749999999991 × 0.625761275158112 × 6371000     		du = 764.454534863162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89480917)-sin(0.89468920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625667692299678-0.625761275158112)×R²
    abs(0.15320633-0.15301458)×9.35828584344156e-05×R²
    0.000191749999999991×9.35828584344156e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.35828584344156e-05×40589641000000     		ar = 584250.980743949m²