Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17181 / 12081
↖ ↑ ↗
← N 42.674358°
E  8.756104°		 ← 898.12 m → N 42.674358°
E  8.767090°		 →
↑
898.18 m
↓
↑
898.18 m
↓
N 42.666281°
E  8.756104°		 ← 898.24 m →
806 733 m²		 N 42.666281°
E  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524337768554688 y=0.368698120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524337768554688 × 215)
    floor (0.524337768554688 × 32768)
    floor (17181.5)     		tx = 17181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368698120117188 × 215)
    floor (0.368698120117188 × 32768)
    floor (12081.5)     		ty = 12081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17181 / 12081 ti = "15/17181/12081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17181/12081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17181 ÷ 215
    17181 ÷ 32768     		x = 0.524322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12081 ÷ 215
    12081 ÷ 32768     		y = 0.368682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524322509765625 × 2 - 1) × π
    0.04864501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15282284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368682861328125 × 2 - 1) × π
    0.26263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.825089916260407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15282284} λ = 0.15282284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.825089916260407))-π/2
    2×atan(2.28208595273912)-π/2
    2×1.15780219506087-π/2
    2.31560439012174-1.57079632675     		φ = 0.74480806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15282284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.756104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74480806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.674358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17181 KachelY 12081 0.15282284 0.74480806 8.756104 42.674358
    Oben rechts KachelX + 1 17182 KachelY 12081 0.15301458 0.74480806 8.767090 42.674358
    Unten links KachelX 17181 KachelY + 1 12082 0.15282284 0.74466708 8.756104 42.666281
    Unten rechts KachelX + 1 17182 KachelY + 1 12082 0.15301458 0.74466708 8.767090 42.666281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74480806-0.74466708) × R
    0.000140979999999957 × 6371000     		dl = 898.183579999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74480806-0.74466708) × R
    0.000140979999999957 × 6371000     		dr = 898.183579999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15282284-0.15301458) × cos(0.74480806) × R
    0.000191740000000024 × 0.735218018749168 × 6371000     		do = 898.124348271355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15282284-0.15301458) × cos(0.74466708) × R
    0.000191740000000024 × 0.735313572015308 × 6371000     		du = 898.241073804039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74480806)-sin(0.74466708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735218018749168-0.735313572015308)×R²
    abs(0.15301458-0.15282284)×9.55532661404135e-05×R²
    0.000191740000000024×9.55532661404135e-05×6371000²
    0.000191740000000024×9.55532661404135e-05×40589641000000     		ar = 806732.96422959m²