Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17181 / 11164
↖ ↑ ↗
← N 49.639177°
E  8.756104°		 ← 791.09 m → N 49.639177°
E  8.767090°		 →
↑
791.15 m
↓
↑
791.15 m
↓
N 49.632062°
E  8.756104°		 ← 791.21 m →
625 918 m²		 N 49.632062°
E  8.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524337768554688 y=0.340713500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524337768554688 × 215)
    floor (0.524337768554688 × 32768)
    floor (17181.5)     		tx = 17181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340713500976562 × 215)
    floor (0.340713500976562 × 32768)
    floor (11164.5)     		ty = 11164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17181 / 11164 ti = "15/17181/11164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17181/11164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17181 ÷ 215
    17181 ÷ 32768     		x = 0.524322509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11164 ÷ 215
    11164 ÷ 32768     		y = 0.3406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524322509765625 × 2 - 1) × π
    0.04864501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15282284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3406982421875 × 2 - 1) × π
    0.318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00092246406677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15282284} λ = 0.15282284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00092246406677))-π/2
    2×atan(2.72079050267217)-π/2
    2×1.21858170341818-π/2
    2.43716340683636-1.57079632675     		φ = 0.86636708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15282284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.756104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86636708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.639177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17181 KachelY 11164 0.15282284 0.86636708 8.756104 49.639177
    Oben rechts KachelX + 1 17182 KachelY 11164 0.15301458 0.86636708 8.767090 49.639177
    Unten links KachelX 17181 KachelY + 1 11165 0.15282284 0.86624290 8.756104 49.632062
    Unten rechts KachelX + 1 17182 KachelY + 1 11165 0.15301458 0.86624290 8.767090 49.632062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86636708-0.86624290) × R
    0.000124179999999918 × 6371000     		dl = 791.150779999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86636708-0.86624290) × R
    0.000124179999999918 × 6371000     		dr = 791.150779999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15282284-0.15301458) × cos(0.86636708) × R
    0.000191740000000024 × 0.647599031773501 × 6371000     		do = 791.091136942289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15282284-0.15301458) × cos(0.86624290) × R
    0.000191740000000024 × 0.647693649617274 × 6371000     		du = 791.20671978589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86636708)-sin(0.86624290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647599031773501-0.647693649617274)×R²
    abs(0.15301458-0.15282284)×9.46178437730705e-05×R²
    0.000191740000000024×9.46178437730705e-05×6371000²
    0.000191740000000024×9.46178437730705e-05×40589641000000     		ar = 625918.092575531m²