Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17179 / 13240
↖ ↑ ↗
← N 80.679118°
W132.816467°		 ← 49.46 m → N 80.679118°
W132.813721°		 →
↑
49.44 m
↓
↑
49.44 m
↓
N 80.678674°
W132.816467°		 ← 49.46 m →
2 445 m²		 N 80.678674°
W132.813721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131069183349609 y=0.101016998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131069183349609 × 217)
    floor (0.131069183349609 × 131072)
    floor (17179.5)     		tx = 17179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101016998291016 × 217)
    floor (0.101016998291016 × 131072)
    floor (13240.5)     		ty = 13240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17179 / 13240 ti = "17/17179/13240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17179/13240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17179 ÷ 217
    17179 ÷ 131072     		x = 0.131065368652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13240 ÷ 217
    13240 ÷ 131072     		y = 0.10101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131065368652344 × 2 - 1) × π
    -0.737869262695312 × 3.1415926535     		Λ = -2.31808465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10101318359375 × 2 - 1) × π
    0.7979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.50690810253046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31808465} λ = -2.31808465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50690810253046))-π/2
    2×atan(12.2669432343416)-π/2
    2×1.4894562890214-π/2
    2.97891257804281-1.57079632675     		φ = 1.40811625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31808465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.816467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40811625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.679118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17179 KachelY 13240 -2.31808465 1.40811625 -132.816467 80.679118
    Oben rechts KachelX + 1 17180 KachelY 13240 -2.31803672 1.40811625 -132.813721 80.679118
    Unten links KachelX 17179 KachelY + 1 13241 -2.31808465 1.40810849 -132.816467 80.678674
    Unten rechts KachelX + 1 17180 KachelY + 1 13241 -2.31803672 1.40810849 -132.813721 80.678674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40811625-1.40810849) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dl = 49.4389599994411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40811625-1.40810849) × R
    7.75999999991228e-06 × 6371000     		dr = 49.4389599994411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31808465--2.31803672) × cos(1.40811625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161963476204286 × 6371000     		do = 49.4574958796277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31808465--2.31803672) × cos(1.40810849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161971133742215 × 6371000     		du = 49.4598342009545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40811625)-sin(1.40810849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161963476204286-0.161971133742215)×R²
    abs(-2.31803672--2.31808465)×7.65753792913992e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.65753792913992e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.65753792913992e-06×40589641000000     		ar = 2445.18496260101m²