Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17179 / 12084
↖ ↑ ↗
← N 42.650122°
E  8.734131°		 ← 898.52 m → N 42.650122°
E  8.745117°		 →
↑
898.57 m
↓
↑
898.57 m
↓
N 42.642041°
E  8.734131°		 ← 898.64 m →
807 433 m²		 N 42.642041°
E  8.745117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524276733398438 y=0.368789672851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524276733398438 × 215)
    floor (0.524276733398438 × 32768)
    floor (17179.5)     		tx = 17179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368789672851562 × 215)
    floor (0.368789672851562 × 32768)
    floor (12084.5)     		ty = 12084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17179 / 12084 ti = "15/17179/12084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17179/12084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17179 ÷ 215
    17179 ÷ 32768     		x = 0.524261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12084 ÷ 215
    12084 ÷ 32768     		y = 0.3687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524261474609375 × 2 - 1) × π
    0.04852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15243934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3687744140625 × 2 - 1) × π
    0.262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.824514673464966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15243934} λ = 0.15243934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824514673464966))-π/2
    2×atan(2.28077357673984)-π/2
    2×1.15759068940147-π/2
    2.31518137880294-1.57079632675     		φ = 0.74438505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15243934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.734131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74438505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.650122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17179 KachelY 12084 0.15243934 0.74438505 8.734131 42.650122
    Oben rechts KachelX + 1 17180 KachelY 12084 0.15263109 0.74438505 8.745117 42.650122
    Unten links KachelX 17179 KachelY + 1 12085 0.15243934 0.74424401 8.734131 42.642041
    Unten rechts KachelX + 1 17180 KachelY + 1 12085 0.15263109 0.74424401 8.745117 42.642041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74438505-0.74424401) × R
    0.000141040000000037 × 6371000     		dl = 898.565840000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74438505-0.74424401) × R
    0.000141040000000037 × 6371000     		dr = 898.565840000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15243934-0.15263109) × cos(0.74438505) × R
    0.000191749999999991 × 0.7355046821282 × 6371000     		do = 898.521388246539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15243934-0.15263109) × cos(0.74424401) × R
    0.000191749999999991 × 0.735600232182474 × 6371000     		du = 898.638115943179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74438505)-sin(0.74424401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7355046821282-0.735600232182474)×R²
    abs(0.15263109-0.15243934)×9.5550054273863e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5550054273863e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5550054273863e-05×40589641000000     		ar = 807433.071086233m²