Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17178 / 12082
↖ ↑ ↗
← N 42.666281°
E  8.723144°		 ← 898.29 m → N 42.666281°
E  8.734131°		 →
↑
898.37 m
↓
↑
898.37 m
↓
N 42.658202°
E  8.723144°		 ← 898.40 m →
807 052 m²		 N 42.658202°
E  8.734131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524246215820312 y=0.368728637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524246215820312 × 215)
    floor (0.524246215820312 × 32768)
    floor (17178.5)     		tx = 17178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368728637695312 × 215)
    floor (0.368728637695312 × 32768)
    floor (12082.5)     		ty = 12082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17178 / 12082 ti = "15/17178/12082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17178/12082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17178 ÷ 215
    17178 ÷ 32768     		x = 0.52423095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12082 ÷ 215
    12082 ÷ 32768     		y = 0.36871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52423095703125 × 2 - 1) × π
    0.0484619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15224759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36871337890625 × 2 - 1) × π
    0.2625732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.824898168661926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15224759} λ = 0.15224759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824898168661926))-π/2
    2×atan(2.28164841018836)-π/2
    2×1.15773170233563-π/2
    2.31546340467127-1.57079632675     		φ = 0.74466708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15224759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.723144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74466708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.666281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17178 KachelY 12082 0.15224759 0.74466708 8.723144 42.666281
    Oben rechts KachelX + 1 17179 KachelY 12082 0.15243934 0.74466708 8.734131 42.666281
    Unten links KachelX 17178 KachelY + 1 12083 0.15224759 0.74452607 8.723144 42.658202
    Unten rechts KachelX + 1 17179 KachelY + 1 12083 0.15243934 0.74452607 8.734131 42.658202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74466708-0.74452607) × R
    0.000141009999999997 × 6371000     		dl = 898.374709999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74466708-0.74452607) × R
    0.000141009999999997 × 6371000     		dr = 898.374709999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15224759-0.15243934) × cos(0.74466708) × R
    0.000191750000000018 × 0.735313572015308 × 6371000     		do = 898.287920631688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15224759-0.15243934) × cos(0.74452607) × R
    0.000191750000000018 × 0.735409130995527 × 6371000     		du = 898.404659232614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74466708)-sin(0.74452607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735313572015308-0.735409130995527)×R²
    abs(0.15243934-0.15224759)×9.55589802191792e-05×R²
    0.000191750000000018×9.55589802191792e-05×6371000²
    0.000191750000000018×9.55589802191792e-05×40589641000000     		ar = 807051.589035242m²