Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17177 / 10873
↖ ↑ ↗
← N 51.665742°
E  8.712158°		 ← 757.68 m → N 51.665742°
E  8.723144°		 →
↑
757.77 m
↓
↑
757.77 m
↓
N 51.658927°
E  8.712158°		 ← 757.79 m →
574 188 m²		 N 51.658927°
E  8.723144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524215698242188 y=0.331832885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524215698242188 × 215)
    floor (0.524215698242188 × 32768)
    floor (17177.5)     		tx = 17177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331832885742188 × 215)
    floor (0.331832885742188 × 32768)
    floor (10873.5)     		ty = 10873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17177 / 10873 ti = "15/17177/10873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17177/10873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17177 ÷ 215
    17177 ÷ 32768     		x = 0.524200439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10873 ÷ 215
    10873 ÷ 32768     		y = 0.331817626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524200439453125 × 2 - 1) × π
    0.04840087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15205585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331817626953125 × 2 - 1) × π
    0.33636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05672101522452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15205585} λ = 0.15205585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05672101522452))-π/2
    2×atan(2.87692212254879)-π/2
    2×1.23626681244155-π/2
    2.47253362488309-1.57079632675     		φ = 0.90173730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15205585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.712158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90173730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.665742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17177 KachelY 10873 0.15205585 0.90173730 8.712158 51.665742
    Oben rechts KachelX + 1 17178 KachelY 10873 0.15224759 0.90173730 8.723144 51.665742
    Unten links KachelX 17177 KachelY + 1 10874 0.15205585 0.90161836 8.712158 51.658927
    Unten rechts KachelX + 1 17178 KachelY + 1 10874 0.15224759 0.90161836 8.723144 51.658927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90173730-0.90161836) × R
    0.000118940000000012 × 6371000     		dl = 757.766740000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90173730-0.90161836) × R
    0.000118940000000012 × 6371000     		dr = 757.766740000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15205585-0.15224759) × cos(0.90173730) × R
    0.000191739999999996 × 0.62024815704026 × 6371000     		do = 757.679977370444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15205585-0.15224759) × cos(0.90161836) × R
    0.000191739999999996 × 0.620341449860806 × 6371000     		du = 757.793941598081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90173730)-sin(0.90161836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62024815704026-0.620341449860806)×R²
    abs(0.15224759-0.15205585)×9.32928205465977e-05×R²
    0.000191739999999996×9.32928205465977e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.32928205465977e-05×40589641000000     		ar = 574187.866243073m²