Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17175 / 18206
↖ ↑ ↗
← S 19.621892°
E  8.690186°		 ← 1 150.70 m → S 19.621892°
E  8.701172°		 →
↑
1 150.67 m
↓
↑
1 150.67 m
↓
S 19.632240°
E  8.690186°		 ← 1 150.62 m →
1 324 026 m²		 S 19.632240°
E  8.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524154663085938 y=0.555618286132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524154663085938 × 215)
    floor (0.524154663085938 × 32768)
    floor (17175.5)     		tx = 17175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555618286132812 × 215)
    floor (0.555618286132812 × 32768)
    floor (18206.5)     		ty = 18206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17175 / 18206 ti = "15/17175/18206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17175/18206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17175 ÷ 215
    17175 ÷ 32768     		x = 0.524139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18206 ÷ 215
    18206 ÷ 32768     		y = 0.55560302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524139404296875 × 2 - 1) × π
    0.04827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15167235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55560302734375 × 2 - 1) × π
    -0.1112060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.349364124430969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15167235} λ = 0.15167235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.349364124430969))-π/2
    2×atan(0.705136326154949)-π/2
    2×0.6141648513932-π/2
    1.2283297027864-1.57079632675     		φ = -0.34246662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15167235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.690186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34246662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.621892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17175 KachelY 18206 0.15167235 -0.34246662 8.690186 -19.621892
    Oben rechts KachelX + 1 17176 KachelY 18206 0.15186410 -0.34246662 8.701172 -19.621892
    Unten links KachelX 17175 KachelY + 1 18207 0.15167235 -0.34264723 8.690186 -19.632240
    Unten rechts KachelX + 1 17176 KachelY + 1 18207 0.15186410 -0.34264723 8.701172 -19.632240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34246662--0.34264723) × R
    0.000180610000000025 × 6371000     		dl = 1150.66631000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34246662--0.34264723) × R
    0.000180610000000025 × 6371000     		dr = 1150.66631000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15167235-0.15186410) × cos(-0.34246662) × R
    0.000191749999999991 × 0.941929212472042 × 6371000     		do = 1150.69769667738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15167235-0.15186410) × cos(-0.34264723) × R
    0.000191749999999991 × 0.941868546195806 × 6371000     		du = 1150.62358437318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34246662)-sin(-0.34264723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941929212472042-0.941868546195806)×R²
    abs(0.15186410-0.15167235)×6.066627623591e-05×R²
    0.000191749999999991×6.066627623591e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.066627623591e-05×40589641000000     		ar = 1324026.43689506m²