Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17175 / 18199
↖ ↑ ↗
← S 19.549437°
E  8.690186°		 ← 1 151.22 m → S 19.549437°
E  8.701172°		 →
↑
1 151.18 m
↓
↑
1 151.18 m
↓
S 19.559790°
E  8.690186°		 ← 1 151.14 m →
1 325 209 m²		 S 19.559790°
E  8.701172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524154663085938 y=0.555404663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524154663085938 × 215)
    floor (0.524154663085938 × 32768)
    floor (17175.5)     		tx = 17175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555404663085938 × 215)
    floor (0.555404663085938 × 32768)
    floor (18199.5)     		ty = 18199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17175 / 18199 ti = "15/17175/18199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17175/18199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17175 ÷ 215
    17175 ÷ 32768     		x = 0.524139404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18199 ÷ 215
    18199 ÷ 32768     		y = 0.555389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524139404296875 × 2 - 1) × π
    0.04827880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15167235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555389404296875 × 2 - 1) × π
    -0.11077880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.348021891241608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15167235} λ = 0.15167235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.348021891241608))-π/2
    2×atan(0.706083419002476)-π/2
    2×0.614797138036232-π/2
    1.22959427607246-1.57079632675     		φ = -0.34120205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15167235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.690186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34120205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.549437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17175 KachelY 18199 0.15167235 -0.34120205 8.690186 -19.549437
    Oben rechts KachelX + 1 17176 KachelY 18199 0.15186410 -0.34120205 8.701172 -19.549437
    Unten links KachelX 17175 KachelY + 1 18200 0.15167235 -0.34138274 8.690186 -19.559790
    Unten rechts KachelX + 1 17176 KachelY + 1 18200 0.15186410 -0.34138274 8.701172 -19.559790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34120205--0.34138274) × R
    0.000180690000000039 × 6371000     		dl = 1151.17599000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34120205--0.34138274) × R
    0.000180690000000039 × 6371000     		dr = 1151.17599000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15167235-0.15186410) × cos(-0.34120205) × R
    0.000191749999999991 × 0.942353116361341 × 6371000     		do = 1151.21555430677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15167235-0.15186410) × cos(-0.34138274) × R
    0.000191749999999991 × 0.942292638474371 × 6371000     		du = 1151.14167214629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34120205)-sin(-0.34138274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942353116361341-0.942292638474371)×R²
    abs(0.15186410-0.15167235)×6.04778869702782e-05×R²
    0.000191749999999991×6.04778869702782e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.04778869702782e-05×40589641000000     		ar = 1325209.18335342m²