Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17174 / 18204
↖ ↑ ↗
← S 19.601194°
E  8.679199°		 ← 1 150.85 m → S 19.601194°
E  8.690186°		 →
↑
1 150.79 m
↓
↑
1 150.79 m
↓
S 19.611544°
E  8.679199°		 ← 1 150.77 m →
1 324 344 m²		 S 19.611544°
E  8.690186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524124145507812 y=0.555557250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524124145507812 × 215)
    floor (0.524124145507812 × 32768)
    floor (17174.5)     		tx = 17174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555557250976562 × 215)
    floor (0.555557250976562 × 32768)
    floor (18204.5)     		ty = 18204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17174 / 18204 ti = "15/17174/18204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17174/18204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17174 ÷ 215
    17174 ÷ 32768     		x = 0.52410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18204 ÷ 215
    18204 ÷ 32768     		y = 0.5555419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52410888671875 × 2 - 1) × π
    0.0482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15148060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.111083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.348980629234009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15148060} λ = 0.15148060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.348980629234009))-π/2
    2×atan(0.705406794407555)-π/2
    2×0.614345475683782-π/2
    1.22869095136756-1.57079632675     		φ = -0.34210538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15148060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.679199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34210538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.601194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17174 KachelY 18204 0.15148060 -0.34210538 8.679199 -19.601194
    Oben rechts KachelX + 1 17175 KachelY 18204 0.15167235 -0.34210538 8.690186 -19.601194
    Unten links KachelX 17174 KachelY + 1 18205 0.15148060 -0.34228601 8.679199 -19.611544
    Unten rechts KachelX + 1 17175 KachelY + 1 18205 0.15167235 -0.34228601 8.690186 -19.611544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34210538--0.34228601) × R
    0.000180629999999959 × 6371000     		dl = 1150.79372999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34210538--0.34228601) × R
    0.000180629999999959 × 6371000     		dr = 1150.79372999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15148060-0.15167235) × cos(-0.34210538) × R
    0.000191750000000018 × 0.942050459554847 × 6371000     		do = 1150.84581687285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15148060-0.15167235) × cos(-0.34228601) × R
    0.000191750000000018 × 0.941989848022573 × 6371000     		du = 1150.77177144602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34210538)-sin(-0.34228601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942050459554847-0.941989848022573)×R²
    abs(0.15167235-0.15148060)×6.06115322732137e-05×R²
    0.000191750000000018×6.06115322732137e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.06115322732137e-05×40589641000000     		ar = 1324343.54834795m²