Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17174 / 18202
↖ ↑ ↗
← S 19.580493°
E  8.679199°		 ← 1 150.99 m → S 19.580493°
E  8.690186°		 →
↑
1 150.92 m
↓
↑
1 150.92 m
↓
S 19.590844°
E  8.679199°		 ← 1 150.92 m →
1 324 661 m²		 S 19.590844°
E  8.690186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524124145507812 y=0.555496215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524124145507812 × 215)
    floor (0.524124145507812 × 32768)
    floor (17174.5)     		tx = 17174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555496215820312 × 215)
    floor (0.555496215820312 × 32768)
    floor (18202.5)     		ty = 18202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17174 / 18202 ti = "15/17174/18202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17174/18202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17174 ÷ 215
    17174 ÷ 32768     		x = 0.52410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18202 ÷ 215
    18202 ÷ 32768     		y = 0.55548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52410888671875 × 2 - 1) × π
    0.0482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15148060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.1109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.348597134037048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15148060} λ = 0.15148060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.348597134037048))-π/2
    2×atan(0.705677366403328)-π/2
    2×0.61452612321346-π/2
    1.22905224642692-1.57079632675     		φ = -0.34174408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15148060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.679199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34174408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.580493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17174 KachelY 18202 0.15148060 -0.34174408 8.679199 -19.580493
    Oben rechts KachelX + 1 17175 KachelY 18202 0.15167235 -0.34174408 8.690186 -19.580493
    Unten links KachelX 17174 KachelY + 1 18203 0.15148060 -0.34192473 8.679199 -19.590844
    Unten rechts KachelX + 1 17175 KachelY + 1 18203 0.15167235 -0.34192473 8.690186 -19.590844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34174408--0.34192473) × R
    0.000180650000000004 × 6371000     		dl = 1150.92115000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34174408--0.34192473) × R
    0.000180650000000004 × 6371000     		dr = 1150.92115000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15148060-0.15167235) × cos(-0.34174408) × R
    0.000191750000000018 × 0.942171603813253 × 6371000     		do = 1150.99381145383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15148060-0.15167235) × cos(-0.34192473) × R
    0.000191750000000018 × 0.942111047056675 × 6371000     		du = 1150.91983294314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34174408)-sin(-0.34192473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942171603813253-0.942111047056675)×R²
    abs(0.15167235-0.15148060)×6.05567565782339e-05×R²
    0.000191750000000018×6.05567565782339e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.05567565782339e-05×40589641000000     		ar = 1324660.55300731m²