Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17173 / 18198
↖ ↑ ↗
← S 19.539084°
E  8.668213°		 ← 1 151.23 m → S 19.539084°
E  8.679199°		 →
↑
1 151.24 m
↓
↑
1 151.24 m
↓
S 19.549437°
E  8.668213°		 ← 1 151.16 m →
1 325 298 m²		 S 19.549437°
E  8.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524093627929688 y=0.555374145507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524093627929688 × 215)
    floor (0.524093627929688 × 32768)
    floor (17173.5)     		tx = 17173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555374145507812 × 215)
    floor (0.555374145507812 × 32768)
    floor (18198.5)     		ty = 18198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17173 / 18198 ti = "15/17173/18198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17173/18198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17173 ÷ 215
    17173 ÷ 32768     		x = 0.524078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18198 ÷ 215
    18198 ÷ 32768     		y = 0.55535888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524078369140625 × 2 - 1) × π
    0.04815673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15128886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55535888671875 × 2 - 1) × π
    -0.1107177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.347830143643127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15128886} λ = 0.15128886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.347830143643127))-π/2
    2×atan(0.70621882178356)-π/2
    2×0.614887487907719-π/2
    1.22977497581544-1.57079632675     		φ = -0.34102135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15128886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.668213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34102135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.539084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17173 KachelY 18198 0.15128886 -0.34102135 8.668213 -19.539084
    Oben rechts KachelX + 1 17174 KachelY 18198 0.15148060 -0.34102135 8.679199 -19.539084
    Unten links KachelX 17173 KachelY + 1 18199 0.15128886 -0.34120205 8.668213 -19.549437
    Unten rechts KachelX + 1 17174 KachelY + 1 18199 0.15148060 -0.34120205 8.679199 -19.549437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34102135--0.34120205) × R
    0.000180699999999978 × 6371000     		dl = 1151.23969999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34102135--0.34120205) × R
    0.000180699999999978 × 6371000     		dr = 1151.23969999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15128886-0.15148060) × cos(-0.34102135) × R
    0.000191739999999996 × 0.942413566826039 × 6371000     		do = 1151.22936179882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15128886-0.15148060) × cos(-0.34120205) × R
    0.000191739999999996 × 0.942353116361341 × 6371000     		du = 1151.15551698976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34102135)-sin(-0.34120205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942413566826039-0.942353116361341)×R²
    abs(0.15148060-0.15128886)×6.04504646982695e-05×R²
    0.000191739999999996×6.04504646982695e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.04504646982695e-05×40589641000000     		ar = 1325298.44217675m²