Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17172 / 10965
↖ ↑ ↗
← N 51.034486°
E  8.657227°		 ← 768.23 m → N 51.034486°
E  8.668213°		 →
↑
768.28 m
↓
↑
768.28 m
↓
N 51.027577°
E  8.657227°		 ← 768.35 m →
590 260 m²		 N 51.027577°
E  8.668213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524063110351562 y=0.334640502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524063110351562 × 215)
    floor (0.524063110351562 × 32768)
    floor (17172.5)     		tx = 17172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334640502929688 × 215)
    floor (0.334640502929688 × 32768)
    floor (10965.5)     		ty = 10965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17172 / 10965 ti = "15/17172/10965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17172/10965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17172 ÷ 215
    17172 ÷ 32768     		x = 0.5240478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10965 ÷ 215
    10965 ÷ 32768     		y = 0.334625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5240478515625 × 2 - 1) × π
    0.048095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15109711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334625244140625 × 2 - 1) × π
    0.33074951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03908023616434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15109711} λ = 0.15109711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03908023616434))-π/2
    2×atan(2.82661599920172)-π/2
    2×1.23075806656668-π/2
    2.46151613313336-1.57079632675     		φ = 0.89071981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15109711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.657227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89071981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.034486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17172 KachelY 10965 0.15109711 0.89071981 8.657227 51.034486
    Oben rechts KachelX + 1 17173 KachelY 10965 0.15128886 0.89071981 8.668213 51.034486
    Unten links KachelX 17172 KachelY + 1 10966 0.15109711 0.89059922 8.657227 51.027577
    Unten rechts KachelX + 1 17173 KachelY + 1 10966 0.15128886 0.89059922 8.668213 51.027577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89071981-0.89059922) × R
    0.000120589999999976 × 6371000     		dl = 768.278889999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89071981-0.89059922) × R
    0.000120589999999976 × 6371000     		dr = 768.278889999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15109711-0.15128886) × cos(0.89071981) × R
    0.000191749999999991 × 0.628852519549913 × 6371000     		do = 768.230920343529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15109711-0.15128886) × cos(0.89059922) × R
    0.000191749999999991 × 0.628946276669221 × 6371000     		du = 768.345457720442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89071981)-sin(0.89059922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628852519549913-0.628946276669221)×R²
    abs(0.15128886-0.15109711)×9.37571193080355e-05×R²
    0.000191749999999991×9.37571193080355e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.37571193080355e-05×40589641000000     		ar = 590259.597784881m²