Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1717 / 397
↖ ↑ ↗
← N 80.914557°
W 29.091797°		 ← 1 543.22 m → N 80.914557°
W 29.003906°		 →
↑
1 544.39 m
↓
↑
1 544.39 m
↓
N 80.900668°
W 29.091797°		 ← 1 545.56 m →
2 385 154 m²		 N 80.900668°
W 29.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4193115234375 y=0.0970458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4193115234375 × 212)
    floor (0.4193115234375 × 4096)
    floor (1717.5)     		tx = 1717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0970458984375 × 212)
    floor (0.0970458984375 × 4096)
    floor (397.5)     		ty = 397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1717 / 397 ti = "12/1717/397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1717/397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1717 ÷ 212
    1717 ÷ 4096     		x = 0.419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 397 ÷ 212
    397 ÷ 4096     		y = 0.096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096923828125 × 2 - 1) × π
    0.80615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53260228072681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50774764} λ = -0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53260228072681))-π/2
    2×atan(12.5862164259601)-π/2
    2×1.49151088518037-π/2
    2.98302177036074-1.57079632675     		φ = 1.41222544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41222544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.914557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1717 KachelY 397 -0.50774764 1.41222544 -29.091797 80.914557
    Oben rechts KachelX + 1 1718 KachelY 397 -0.50621366 1.41222544 -29.003906 80.914557
    Unten links KachelX 1717 KachelY + 1 398 -0.50774764 1.41198303 -29.091797 80.900668
    Unten rechts KachelX + 1 1718 KachelY + 1 398 -0.50621366 1.41198303 -29.003906 80.900668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41222544-1.41198303) × R
    0.000242410000000026 × 6371000     		dl = 1544.39411000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41222544-1.41198303) × R
    0.000242410000000026 × 6371000     		dr = 1544.39411000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50774764--0.50621366) × cos(1.41222544) × R
    0.00153397999999993 × 0.157907184854482 × 6371000     		do = 1543.22479846837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50774764--0.50621366) × cos(1.41198303) × R
    0.00153397999999993 × 0.158146548926799 × 6371000     		du = 1545.56410033485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41222544)-sin(1.41198303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157907184854482-0.158146548926799)×R²
    abs(-0.50621366--0.50774764)×0.000239364072316617×R²
    0.00153397999999993×0.000239364072316617×6371000²
    0.00153397999999993×0.000239364072316617×40589641000000     		ar = 2385153.70284824m²