Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17169 / 10903
↖ ↑ ↗
← N 51.460852°
E  8.624267°		 ← 761.14 m → N 51.460852°
E  8.635254°		 →
↑
761.21 m
↓
↑
761.21 m
↓
N 51.454007°
E  8.624267°		 ← 761.26 m →
579 430 m²		 N 51.454007°
E  8.635254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523971557617188 y=0.332748413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523971557617188 × 215)
    floor (0.523971557617188 × 32768)
    floor (17169.5)     		tx = 17169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332748413085938 × 215)
    floor (0.332748413085938 × 32768)
    floor (10903.5)     		ty = 10903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17169 / 10903 ti = "15/17169/10903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17169/10903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17169 ÷ 215
    17169 ÷ 32768     		x = 0.523956298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10903 ÷ 215
    10903 ÷ 32768     		y = 0.332733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523956298828125 × 2 - 1) × π
    0.04791259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15052186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332733154296875 × 2 - 1) × π
    0.33453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05096858727011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15052186} λ = 0.15052186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05096858727011))-π/2
    2×atan(2.86042034346027)-π/2
    2×1.2344788189249-π/2
    2.46895763784981-1.57079632675     		φ = 0.89816131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15052186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.624267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89816131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.460852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17169 KachelY 10903 0.15052186 0.89816131 8.624267 51.460852
    Oben rechts KachelX + 1 17170 KachelY 10903 0.15071361 0.89816131 8.635254 51.460852
    Unten links KachelX 17169 KachelY + 1 10904 0.15052186 0.89804183 8.624267 51.454007
    Unten rechts KachelX + 1 17170 KachelY + 1 10904 0.15071361 0.89804183 8.635254 51.454007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89816131-0.89804183) × R
    0.00011947999999995 × 6371000     		dl = 761.207079999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89816131-0.89804183) × R
    0.00011947999999995 × 6371000     		dr = 761.207079999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15052186-0.15071361) × cos(0.89816131) × R
    0.000191749999999991 × 0.623049212051311 × 6371000     		do = 761.141372123417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15052186-0.15071361) × cos(0.89804183) × R
    0.000191749999999991 × 0.62314266278553 × 6371000     		du = 761.25553520828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89816131)-sin(0.89804183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623049212051311-0.62314266278553)×R²
    abs(0.15071361-0.15052186)×9.34507342187363e-05×R²
    0.000191749999999991×9.34507342187363e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.34507342187363e-05×40589641000000     		ar = 579429.652904314m²