Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17168 / 11088
↖ ↑ ↗
← N 75.737303°
W 85.693359°		 ← 150.49 m → N 75.737303°
W 85.687866°		 →
↑
150.48 m
↓
↑
150.48 m
↓
N 75.735949°
W 85.693359°		 ← 150.51 m →
22 648 m²		 N 75.735949°
W 85.687866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.261970520019531 y=0.169197082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.261970520019531 × 216)
    floor (0.261970520019531 × 65536)
    floor (17168.5)     		tx = 17168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169197082519531 × 216)
    floor (0.169197082519531 × 65536)
    floor (11088.5)     		ty = 11088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17168 / 11088 ti = "16/17168/11088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17168/11088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17168 ÷ 216
    17168 ÷ 65536     		x = 0.261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11088 ÷ 216
    11088 ÷ 65536     		y = 0.169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.47607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.49563127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.169189453125 × 2 - 1) × π
    0.66162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.07854396752563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49563127} λ = -1.49563127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07854396752563))-π/2
    2×atan(7.9928226283599)-π/2
    2×1.44633081351763-π/2
    2.89266162703526-1.57079632675     		φ = 1.32186530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49563127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.693359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32186530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.737303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17168 KachelY 11088 -1.49563127 1.32186530 -85.693359 75.737303
    Oben rechts KachelX + 1 17169 KachelY 11088 -1.49553539 1.32186530 -85.687866 75.737303
    Unten links KachelX 17168 KachelY + 1 11089 -1.49563127 1.32184168 -85.693359 75.735949
    Unten rechts KachelX + 1 17169 KachelY + 1 11089 -1.49553539 1.32184168 -85.687866 75.735949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32186530-1.32184168) × R
    2.3620000000113e-05 × 6371000     		dl = 150.48302000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32186530-1.32184168) × R
    2.3620000000113e-05 × 6371000     		dr = 150.48302000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49563127--1.49553539) × cos(1.32186530) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.246368076680182 × 6371000     		do = 150.494304265092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49563127--1.49553539) × cos(1.32184168) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.246390968556518 × 6371000     		du = 150.508287801632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32186530)-sin(1.32184168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246368076680182-0.246390968556518)×R²
    abs(-1.49553539--1.49563127)×2.28918763358621e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.28918763358621e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.28918763358621e-05×40589641000000     		ar = 22647.8895421722m²