Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17168 / 10925
↖ ↑ ↗
← N 51.310013°
E  8.613281°		 ← 763.61 m → N 51.310013°
E  8.624267°		 →
↑
763.69 m
↓
↑
763.69 m
↓
N 51.303145°
E  8.613281°		 ← 763.73 m →
583 210 m²		 N 51.303145°
E  8.624267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523941040039062 y=0.333419799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523941040039062 × 215)
    floor (0.523941040039062 × 32768)
    floor (17168.5)     		tx = 17168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333419799804688 × 215)
    floor (0.333419799804688 × 32768)
    floor (10925.5)     		ty = 10925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17168 / 10925 ti = "15/17168/10925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17168/10925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17168 ÷ 215
    17168 ÷ 32768     		x = 0.52392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10925 ÷ 215
    10925 ÷ 32768     		y = 0.333404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52392578125 × 2 - 1) × π
    0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333404541015625 × 2 - 1) × π
    0.33319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04675014010355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15033012} λ = 0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04675014010355))-π/2
    2×atan(2.84837922663107)-π/2
    2×1.23316249988546-π/2
    2.46632499977093-1.57079632675     		φ = 0.89552867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89552867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.310013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17168 KachelY 10925 0.15033012 0.89552867 8.613281 51.310013
    Oben rechts KachelX + 1 17169 KachelY 10925 0.15052186 0.89552867 8.624267 51.310013
    Unten links KachelX 17168 KachelY + 1 10926 0.15033012 0.89540880 8.613281 51.303145
    Unten rechts KachelX + 1 17169 KachelY + 1 10926 0.15052186 0.89540880 8.624267 51.303145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89552867-0.89540880) × R
    0.000119870000000022 × 6371000     		dl = 763.69177000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89552867-0.89540880) × R
    0.000119870000000022 × 6371000     		dr = 763.69177000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15033012-0.15052186) × cos(0.89552867) × R
    0.000191739999999996 × 0.625106255861627 × 6371000     		do = 763.614512061528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15033012-0.15052186) × cos(0.89540880) × R
    0.000191739999999996 × 0.625199814660046 × 6371000     		du = 763.728801201229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89552867)-sin(0.89540880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625106255861627-0.625199814660046)×R²
    abs(0.15052186-0.15033012)×9.35587984196573e-05×R²
    0.000191739999999996×9.35587984196573e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.35587984196573e-05×40589641000000     		ar = 583209.759850555m²