Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17165 / 16155
↖ ↑ ↗
← N  2.515061°
E  8.580322°		 ← 1 220.46 m → N  2.515061°
E  8.591308°		 →
↑
1 220.49 m
↓
↑
1 220.49 m
↓
N  2.504085°
E  8.580322°		 ← 1 220.47 m →
1 489 572 m²		 N  2.504085°
E  8.591308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523849487304688 y=0.493026733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523849487304688 × 215)
    floor (0.523849487304688 × 32768)
    floor (17165.5)     		tx = 17165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493026733398438 × 215)
    floor (0.493026733398438 × 32768)
    floor (16155.5)     		ty = 16155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17165 / 16155 ti = "15/17165/16155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17165/16155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17165 ÷ 215
    17165 ÷ 32768     		x = 0.523834228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16155 ÷ 215
    16155 ÷ 32768     		y = 0.493011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523834228515625 × 2 - 1) × π
    0.04766845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14975487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.493011474609375 × 2 - 1) × π
    0.01397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0439102000519714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14975487} λ = 0.14975487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0439102000519714))-π/2
    2×atan(1.04488851974054)-π/2
    2×0.807346211530232-π/2
    1.61469242306046-1.57079632675     		φ = 0.04389610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14975487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04389610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.515061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17165 KachelY 16155 0.14975487 0.04389610 8.580322 2.515061
    Oben rechts KachelX + 1 17166 KachelY 16155 0.14994662 0.04389610 8.591308 2.515061
    Unten links KachelX 17165 KachelY + 1 16156 0.14975487 0.04370453 8.580322 2.504085
    Unten rechts KachelX + 1 17166 KachelY + 1 16156 0.14994662 0.04370453 8.591308 2.504085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04389610-0.04370453) × R
    0.000191570000000002 × 6371000     		dl = 1220.49247000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04389610-0.04370453) × R
    0.000191570000000002 × 6371000     		dr = 1220.49247000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14975487-0.14994662) × cos(0.04389610) × R
    0.000191749999999991 × 0.999036720893239 × 6371000     		do = 1220.46247043442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14975487-0.14994662) × cos(0.04370453) × R
    0.000191749999999991 × 0.999045109036907 × 6371000     		du = 1220.47271771996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04389610)-sin(0.04370453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999036720893239-0.999045109036907)×R²
    abs(0.14994662-0.14975487)×8.38814366765916e-06×R²
    0.000191749999999991×8.38814366765916e-06×6371000²
    0.000191749999999991×8.38814366765916e-06×40589641000000     		ar = 1489571.51300577m²