Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17165 / 10982
↖ ↑ ↗
← N 50.916887°
E  8.580322°		 ← 770.18 m → N 50.916887°
E  8.591308°		 →
↑
770.19 m
↓
↑
770.19 m
↓
N 50.909961°
E  8.580322°		 ← 770.29 m →
593 228 m²		 N 50.909961°
E  8.591308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523849487304688 y=0.335159301757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523849487304688 × 215)
    floor (0.523849487304688 × 32768)
    floor (17165.5)     		tx = 17165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335159301757812 × 215)
    floor (0.335159301757812 × 32768)
    floor (10982.5)     		ty = 10982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17165 / 10982 ti = "15/17165/10982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17165/10982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17165 ÷ 215
    17165 ÷ 32768     		x = 0.523834228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10982 ÷ 215
    10982 ÷ 32768     		y = 0.33514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523834228515625 × 2 - 1) × π
    0.04766845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14975487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33514404296875 × 2 - 1) × π
    0.3297119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03582052699017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14975487} λ = 0.14975487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03582052699017))-π/2
    2×atan(2.81741705418545)-π/2
    2×1.22973182916553-π/2
    2.45946365833107-1.57079632675     		φ = 0.88866733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14975487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88866733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.916887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17165 KachelY 10982 0.14975487 0.88866733 8.580322 50.916887
    Oben rechts KachelX + 1 17166 KachelY 10982 0.14994662 0.88866733 8.591308 50.916887
    Unten links KachelX 17165 KachelY + 1 10983 0.14975487 0.88854644 8.580322 50.909961
    Unten rechts KachelX + 1 17166 KachelY + 1 10983 0.14994662 0.88854644 8.591308 50.909961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88866733-0.88854644) × R
    0.000120889999999929 × 6371000     		dl = 770.190189999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88866733-0.88854644) × R
    0.000120889999999929 × 6371000     		dr = 770.190189999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14975487-0.14994662) × cos(0.88866733) × R
    0.000191749999999991 × 0.630447047552207 × 6371000     		do = 770.178858336355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14975487-0.14994662) × cos(0.88854644) × R
    0.000191749999999991 × 0.630540881662994 × 6371000     		du = 770.293489769081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88866733)-sin(0.88854644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630447047552207-0.630540881662994)×R²
    abs(0.14994662-0.14975487)×9.38341107866725e-05×R²
    0.000191749999999991×9.38341107866725e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.38341107866725e-05×40589641000000     		ar = 593228.345960477m²