Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17164 / 18188
↖ ↑ ↗
← S 19.435515°
E  8.569336°		 ← 1 151.97 m → S 19.435515°
E  8.580322°		 →
↑
1 151.94 m
↓
↑
1 151.94 m
↓
S 19.445874°
E  8.569336°		 ← 1 151.89 m →
1 326 954 m²		 S 19.445874°
E  8.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523818969726562 y=0.555068969726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523818969726562 × 215)
    floor (0.523818969726562 × 32768)
    floor (17164.5)     		tx = 17164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555068969726562 × 215)
    floor (0.555068969726562 × 32768)
    floor (18188.5)     		ty = 18188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17164 / 18188 ti = "15/17164/18188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17164/18188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17164 ÷ 215
    17164 ÷ 32768     		x = 0.5238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18188 ÷ 215
    18188 ÷ 32768     		y = 0.5550537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5238037109375 × 2 - 1) × π
    0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.345912667658325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14956313} λ = 0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345912667658325))-π/2
    2×atan(0.70757427852692)-π/2
    2×0.615791304884197-π/2
    1.23158260976839-1.57079632675     		φ = -0.33921372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33921372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.435515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17164 KachelY 18188 0.14956313 -0.33921372 8.569336 -19.435515
    Oben rechts KachelX + 1 17165 KachelY 18188 0.14975487 -0.33921372 8.580322 -19.435515
    Unten links KachelX 17164 KachelY + 1 18189 0.14956313 -0.33939453 8.569336 -19.445874
    Unten rechts KachelX + 1 17165 KachelY + 1 18189 0.14975487 -0.33939453 8.580322 -19.445874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33921372--0.33939453) × R
    0.000180810000000031 × 6371000     		dl = 1151.9405100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33921372--0.33939453) × R
    0.000180810000000031 × 6371000     		dr = 1151.9405100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14956313-0.14975487) × cos(-0.33921372) × R
    0.000191740000000024 × 0.943016588309602 × 6371000     		do = 1151.9659980934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14956313-0.14975487) × cos(-0.33939453) × R
    0.000191740000000024 × 0.942956409141628 × 6371000     		du = 1151.89248469379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33921372)-sin(-0.33939453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943016588309602-0.942956409141628)×R²
    abs(0.14975487-0.14956313)×6.01791679737396e-05×R²
    0.000191740000000024×6.01791679737396e-05×6371000²
    0.000191740000000024×6.01791679737396e-05×40589641000000     		ar = 1326953.96142993m²