Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17164 / 16157
↖ ↑ ↗
← N  2.493110°
E  8.569336°		 ← 1 220.42 m → N  2.493110°
E  8.580322°		 →
↑
1 220.49 m
↓
↑
1 220.49 m
↓
N  2.482133°
E  8.569336°		 ← 1 220.43 m →
1 489 519 m²		 N  2.482133°
E  8.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523818969726562 y=0.493087768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523818969726562 × 215)
    floor (0.523818969726562 × 32768)
    floor (17164.5)     		tx = 17164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493087768554688 × 215)
    floor (0.493087768554688 × 32768)
    floor (16157.5)     		ty = 16157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17164 / 16157 ti = "15/17164/16157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17164/16157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17164 ÷ 215
    17164 ÷ 32768     		x = 0.5238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16157 ÷ 215
    16157 ÷ 32768     		y = 0.493072509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5238037109375 × 2 - 1) × π
    0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.493072509765625 × 2 - 1) × π
    0.01385498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.043526704855011
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14956313} λ = 0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.043526704855011))-π/2
    2×atan(1.04448788683717)-π/2
    2×0.807154647030991-π/2
    1.61430929406198-1.57079632675     		φ = 0.04351297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04351297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.493110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17164 KachelY 16157 0.14956313 0.04351297 8.569336 2.493110
    Oben rechts KachelX + 1 17165 KachelY 16157 0.14975487 0.04351297 8.580322 2.493110
    Unten links KachelX 17164 KachelY + 1 16158 0.14956313 0.04332140 8.569336 2.482133
    Unten rechts KachelX + 1 17165 KachelY + 1 16158 0.14975487 0.04332140 8.580322 2.482133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04351297-0.04332140) × R
    0.000191569999999995 × 6371000     		dl = 1220.49246999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04351297-0.04332140) × R
    0.000191569999999995 × 6371000     		dr = 1220.49246999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14956313-0.14975487) × cos(0.04351297) × R
    0.000191740000000024 × 0.999053460081561 × 6371000     		do = 1220.41926998815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14956313-0.14975487) × cos(0.04332140) × R
    0.000191740000000024 × 0.999061774898794 × 6371000     		du = 1220.4294271655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04351297)-sin(0.04332140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999053460081561-0.999061774898794)×R²
    abs(0.14975487-0.14956313)×8.31481723273519e-06×R²
    0.000191740000000024×8.31481723273519e-06×6371000²
    0.000191740000000024×8.31481723273519e-06×40589641000000     		ar = 1489518.73219797m²